خواندنی‌های ریاضی

 

حال اگر پرزیدنت اوباما از من دعوت کند که قیصر بعدی ریاضیات باشم، من برایش پیشنهادی خواهم داشت، که گمان می‌کنم به شدت آموزش ریاضی را در این کشور بهبود بخشد و این طرح به سادگی قابل اجراست و کم خرج است.
برنامه آموزشی ریاضیات ما بر اساس علم حساب و جبر پایه گذاری شده و هر چیزی که بعد از آن یاد می‌گیریم در جهت پیشبرد به سمت یک مبحث است حساب دیفرانسیل و انتگرال که در بالای هرم است و من اینجا آمده‌ام که بگویم که من فکر می‌کنم گذاشتن آن در قله هرم اشتباه است. قله درست، که همه دانش‌آموزان ما چیزی که هر فارغ‌التحصیل دبیرستان باید بداند، بایستی که آمار باشد، احتمالات و آمار- منظور این است اشتباه متوجه نشوید. حسابان موضوع مهمی است، یکی از عالیترین دستاوردهای مغزی بشری است. قوانین طبیعت بر اساس زبان حسابان نوشته شده است و هر دانشجویی که ریاضی، دانش، مهندسی و اقتصاد می‌خواند، به طور حتم حسابان را تا آخر سال اول کالج بیاموزد. ولی اینجا منظور من اینست که بعنوان یک پروفسور ریاضیات می‌گویم که شمار اندکی در حقیقت از حسابان به طرز آگاهانه و معنی داری در زندگی روزمره استفاده می‌کنند. از سوی دیگر آمار، درسی است که شما می‌توانید و به نفعتان است که به طور روزانه از آن استفاده کنید. ریسک است و پاداش و تصادف است، فهم داده‌ها ست. من فکر می‌کنم، اگر دانش‌آموزان دبیرستان‌های ما و اگر همه شهروندان آمریکایی احتمالات و آمار را بلد بودند، ما در این آشفتگی اقتصادی که امروز بوجود آمده نمیافتادیم، نه فقط این موضوع بلکه اگر به طور اصولی آموزش داده شود، میتواند خیلی جالب نیز باشد. مقصودم این است که احتمال و آمار، ریاضیات بازی است، تحلیل روندها و پیش‌بینی آینده است. جهان از آنالوگ به دیجیتال عوض شده است و وقت آن رسیده است که برنامه درسی ریاضیات ما هم از آنالوگ به دیجیتال عوض شود. از ریاضیات کلاسیک و پیوسته به ریاضیات مدرن‌تر و گسسته. ریاضیات عدم قطعیت، تصادفی بودن داده‌ها و این یعنی احتمالات و آمار. بطور خلاصه به جای اینکه دانش‌آموزان ما در مورد تکنیک‌های حسابان بیاموزند، بسیار مهم‌تر خواهد بود که همه آنها بدانند انحراف از میانگین به چه معناست، واقعا مقصودم این‌ است.

هدیه وب سایت‌های اتحادیه انجمن‌های علمی وآموزشی معلمان ریاضی ایران

و  شورای خانه‌های ریاضیات ایران

The Theorem h²=p*q

 

 

 

.قضيه تالس

 

 

قضيه فيثاغورس

 

 

 

 

 

 

 

جمله “من ریاضی‌دان نیستم”   و یا بطور عامیانه‌تر  “من ریاضی‌ام خوب نیست”
دیگر بهانه‌ای معتبر نیست.
Kelly Dickerson

بر خلاف نظر عامه مردم، توانایی ذاتی ریاضی تنها به افراد کمک می‌کند تا در مطالعه موضوعات پیش روند. مقاله منتشر شده در موضوع رشد کودکان (Child Development) نشان می‌دهد که کار سخت و عادات مطالعه خوب، مهم‌ترین عامل در بهبود توانایی‌های ریاضی در طول زمان است.
اما نگرش بد در مورد ریاضی ما را به عقب خواهد راند.
بسیاری از ما هرگز فکر نمی‌کنیم که جمله “من در خواندن بد هستم” بهانه خوبی برای فرار از حضور در کلاس‌های زبان انگلیسی باشد، پس چرا جمله “من در ریاضی بد هستم” را طبیعی و یا جمله معتبری میدانیم؟
بررسی صورت گرفته در سال 2010 توسط Change the Equation نشان داد که از هر 10 نفر آمریکایی، 3 نفر میگویند در ریاضیات خوب نیستند. بیش از نیمی از افراد پایه 18 تا 34 ساله به طور منظم میگویند قادر به انجام اعمال ریاضی نیستند. تقریبا یک سوم از آمریکایی‌ها اعلام داشتند که ترجیح می‌دهند که حمام تمیزکنند تا حل یک مسئله ریاضی.

و موضوع اضطراب ریاضی یک مشکل واقعی است: طبق مطالعه‌ای که در مجله PLoS در سال 2012 به چاپ رسیده است، نشان می‌د‌هد که انتظار انجام محاسبات در حقیقت می‌تواند همان مناطق از مغز را تحت تاثیر قرار دهد که منجر به درد می‌شود. اساسا، ریاضی دردناک است.

نگرش ما در مورد ریاضی مهم‌تر از آن چیزی است که فکر می‌کنیم.

بر اساس تحقیقات صورت گرفته در دانشگاه Patricia Linehan from Purdue  به طور کلی، انسان‌ها عقیده دارند که قابلیت یادگیری به دو طریق عمل میکند. بعبارت دیگر، قابلیت و توانایی یادگیری انسان را در یک موضوع خاص به دو دسته می‌توان طبقه‌بندی کرد :  “جهت‌گیری تدریجی” – این باور که به طور مستمر می‌توان توانایی را با مطالعه و تمرین بهبود بخشید – و یا این اعتقاد از یادگیری تحت عنوان “جهت گیری نهادی” – بدین مفهوم که مهم نیست چقدر سخت تلاش می‌کنیم، زیرا نمی‌توان یادگیری را بهبود بخشید. بنابراین، یک نفر می‌تواند جهت‌گیری‌های مختلفی داشته باشد.
در جهت گیری نهادی به سمت ریاضی – اساسا میگوید “من ریاضیدان خوبی نیستم و به بنابراین هرگز نخواهم بود” – که این موضوعی خطرناک است. بر اساس مطالعه منتشر شده در سال 2010 با عنون شخصیت و ویژگی‌های فردی (Personality and Individual Differences)، هنگامی که کسی با جهت‌گیری نهادی در مورد یادگیری ریاضی، یک مسئله ریاضی را اشتباه پاسخ می‌دهد، این موضوع را فقط نشانه‌ای از توانایی‌های ریاضی ضعیف خود که با آن “متولد شده است” می‌پندارد.
 موضوع می‌تواند تاثیر بسیار منفی در انگیزه افراد داشته باشند. اگر ما بر این باور باشیم که نمی‌توان در یادگیری پیشرفتی بدست آورد، مسلما زحمت تلاش را نخواهیم کشید.

تحقیقات نشان می‌دهد که تلاش و پشتکار سخت و نه توانایی‌های ذاتی، مهم‌ترین عامل در پیشرفت یادگیری خواهد بود.

مطالعات نشان می‌دهد که در توانایی‌های ریاضی در 3520 دانش آموزان به مدت پنج سال – از کلاس پنجم تا کلاس 10، پیشرفت حاصل می‌شود. توانایی ریاضی دانش‌آموزان با عملکرد آنها در تست دستاورد ریاضیات PALMA اندازه‌گیری شد. سوالات شامل ریاضی پایه، جبر و هندسه بود. محققان همچنین از دانش‌آموزان خواستند به سوالاتی در مورد عادات مطالعه و علاقه به ریاضیات پاسخ دهند.
در کلاس‌های پایین‌تر، یک IQ بالا به طور کلی به معنای نمره ریاضی بالا است. اما معلوم شد استعداد طبیعی تنها، شما را به جلو می‌برد. این‌که چگونه دانش‌آموزان مطالعه می‌کنند، تاثیر بسیاربزرگتری در میزان پیشرفت در توانایی‎های ریاضی‌شان داشته است.
دانش‌آموزانی که به طور بسیار ساده به حفظ مطالب ریاضی در هنگام مطالعه اکتفا کردند و تلاشی برای ایجاد ارتباط عمیق‌تر با وجوه دیگر ریاضیات نداشتند، پیشرفت چشم‌گیری در طول زمان را نشان ندادند.

بعلاوه محققان دریافتند نوع انگیزه دانش‌آموزان باعث ایجاد تفاوت‌هایی در پیشرفت قابلیت‌های ریاضی آنها می‌شود.
دانش‌آموزانی که اظهار می‌کردند علاقه‌ به بهبود توانایی ریاضی‌شان دارند، فقط به خاطر این است که علاقه‌مند به درک موضوع ریاضی و یافتن پاسخ‌ها هستند، پیشرفت بیشتری نسبت به دانش‌آموزانی داشتند که انگیزه اصلی آنها کسب نمره ریاضی بالاتر بود.
بر اساس مطالعات Kou Murayama در حالی که هوش ارزیابی شده توسط تست IQ در مراحل اولیه رشد قابلیت‌های ریاضی مهم است، انگیزه و مهارت‌های مطالعه نقش بسیارمهم‌تری را در رشد دانش‎آموزان در مراحل بعدی ایفا می‌کند

شما می‌توانید تفاوتی را که در نمودار از سمت راست به سمت چپ ایجاد کرده را ببینید.

دانش‌آموزانی که باعنوان رشد بالا مشخص شده‌اند، اعتقاد دارند که می‌توانند در ریاضی پیشرفت داشته باشند، اگر تمرین‌های بیشتری داشته باشند و از تکنیک‌های عمیق‌تری در مطالعه ریاضی نیز استفاده کنند. دانش‌آموزانی که تحت عنوان رشد پایین هستند، ترجیح می‌دهند باور کنند که قابلیت ریاضی ذاتی است و چیزی است که از هنگام تولد با انسان همراه است و قابل پیشرفت نیست و در هنگام مطالعه ریاضی بیشتر به حفظ مطالب متکی هستند.

 

چگونه می‌توان نگرش را در مورد ریاضی تغییر داد؟

نه تنها بارها از همسالانمان می‌شنویم “من ریاضی‌ام بد است” بلکه با جملات کلیشه‌ای که بد نیست ریاضی‌مان بد باشد، نیز بمباران شده‌ایم.
به عنوان مثال، تی‌شرت‌هایی با اشکالی که در آن خرید، موسیقی و رقص به عنوان بهترین انتخاب افراد تائید شده‌، اما به عمد ریاضی انتخاب نشده است وهمچنین پیراهن که می‌گویند ” از آلرژی بسمت جبر” (“Allergic to Algebra) و “4 از 3 نفر در ریاضی بد هستند”و ….

 البته ناتوانی‌های یادگیری ریاضی بطور خاص مانند محاسبه پریشی (dyscalculia) – نوعی اختلال در یادگیری ریاضی مشابه خوانشپریشی (dyslexia) -‏ یک اصطلاح وسیع است برای تشریح معلولیت آموزشی ، وجود دارد که این نوع اختلال یادگیری عملکرد ضعیف در ریاضی را برای کل جامعه توجیه نمی‌کند.

(محاسبه پریشی عبارت است از اختلال در توانایی‌های ریاضیات كه در اثر آسیب ارثی (یا مادرزادی) فرایندهای رشدی مراكز مغز كه زمینه رشد توانایی‌های ریاضی است، بوجود می‌آید بایستی به این نكته توجه داشت كه محاسبه پریشی كلا به ضعف در عمل محاسبه اشاره نمی‌كند، بلكه عبارت است از نقص درمهارت‌های ریاضیات و حتی وسیع‌تر از آن. كودكان مبتلا به اختلال در ریاضیات معمولا در زمینه درك روابط فضایی دچار مشكل شدیدند. در بررسی دشواری‌های ریاضی این گروه از كودكان، باید به مشكلات درك بینایی و تفكر نیز توجه شود. گاهی اوقات عوامل غیر مستقیمی، مانند بی‌توجهی و دشواری در خواندن، به ویژه برای حل مسائلی كه به صورت تشریحی بیان می‌شود، سبب دشواری در حل مسائل ریاضیات می‌گردد.

 Jonathan Wai روانشناس در این زمینه نکته‌ای را یادآوری می‌کند که تا زمانی که جمله ریاضی‌ام بد است را جمله‌ای خنده‌دار ندانیم، این باور از نظر اجتماعی همچنان ادامه خواهد یافت.
تمرکز بیشتر بر روی ریاضی به عنوان یک مهارت، درست مانند هر مهارت دیگری که در مدرسه آموخته می‌شود، می‌تواند سواد ریاضی را افزایش داده و افراد بیشتری را تشویق به وارد شده به این حوزه از علم خواهد شد

 منبع : http://finance.yahoo.com/news/im-not-math-person-no-221349944.html

مطالعات نشان میدهد کودکان دو تا چهار ساله‌اي که مشغول بازي با پازل هستند، در حقيقت به بهبود مهارت‌های استدلال فضایی خود میپردازند. مهارت‌های استدلال فضایی يا توانایی ذهنی چرخش اشکال، موضوعات مهمي در ریاضیات، علوم و مهندسی است.
يک روانشناس به‌نام سوزان لوین(Susan Levine) و همکارانش اخیرا در یک مطالعه دريافتند، کودکان 2-4 ساله‌اي که با پازل بازی میکنند، مهارت‌های فضایی بهتري در ارزيابیهاي صورت گرفته آنها در سن 4 ½ سالگي کسب میکنند. پس از کنترل تفاوت‌ها در درآمد والدين، آموزش و کل ساير ورودی‌ها، محققان اظهار میکنند که ثابت شده است بازی با پازل بطور معنیداري در مهارت‌های فضایی تاثير دارد.- مهارت‌ها در ریاضیات، علوم و تکنولوژی مهم هستند و جنبه کلیدی در شناخت دارد.

در اوایل سال‌های قبل از دبستان و در ادامه در بزرگسالی، تفاوت‌های فردی و جنسیتی در مهارت‌هاي فضايي خاصي، به ویژه مهارت‌ در چرخش ذهنی [اشیاء] وجود دارد و محققان در گزارش‌هاي چاپ شده در Developmental Science نيز اين موضوع را بيان میکنند. از آنجايي که اين تفاوت‌ها در دستيابي به توانايیهاي رياضي تاثير اثبات شده‌اي دارند، امروزه مورد توجه خاصي قرار گرفته‌اند. بهبود در آموزش رياضي براي بنياد ملي علوم (National Science Foundation) نيز نکته قابل توجهي است به طوري که در تحقيقاتي با اين موضوع سرمايه گذاریهاي قابل توجهي انجام داده است.
Soo-Siang Lim مدير پروژه آموزش علوم (NSF) در اين رابطه بيان میکند که اين مطالعه آگاهي بيشتري از فرصت‌های یادگیری برای کودکان در فعالیت‌های روزمره‌شان به ارمغان میآورد.
این موضوع مهم است، زیرا این مطالعه و متعاقبا مطالعات بعدی به‌طور بالقوه می‌تواند منجر به مداخلات نسبتا آسان و ارزان برای بهبود مهارت‌های فضایی برای آموزش STEM شود.
آموزش STEM شامل علوم، فن آوری، مهندسی و ریاضیات است. فعالیت‌هایی مانند بازی پازل در سنين کودکي میتواند زمینه را برای توسعه اين موارد مهيا سازد. طبق نظر پژوهشگران به طور خاص، مهارت و توانایی ذهنی تبدیل اشکال، یک عامل مهم در طي مراحل STEM، دريافت مدرک تحصيلي و حرفه است.
در اين رابطه Levine، متخصص برجسته در توسعه ریاضیات در کودکان اظهار میکند : ” کودکانی که به بازي پازل میپردازند توانایی بيشتري در چرخش و تحليل اشکال دارند.”
در مطالعه ابتدا بازی پازل در یک محیط طبیعی صورت گرفت. محققان 53 مورد از والدين کودکان با زمینه‌های اجتماعی و اقتصادی متنوع را برای یک دوره دو ساله دنبال کردند.
محققان تعاملات پدر و مادر کودک را در فیلم 90 دقیقه‌ای که هر چهار ماه بین 26 و 46 ماهگی کودک رخ داده است، ثبت کردند.از پدر و مادر خواسته شد بصورت طبيعي با کودکان خود تعامل داشته باشند و در حدود نیمی از کودکان در نمونه حداقل یک بار با پازل بازي کردند.
والدين با درآمد بالاتر تمایل بيشتري به تعامل با کودکان در بازي پازل داشتند. هر دو مورد پسر و دختر که با پازل بازی کردند، مهارت‌های فضايي خوبي داشتند، اما پسرها بيشتر به بازي با پازل‌هاي پیچیده‌تر نسبت به دختران پرداختند و والدين پسرها از زبان فضايي بيشتري(مکالمات والدين و کودک) در طول بازی استفاده کرده و تعاملات بيشتري با کودکانشان نسبت به والدين دختران داشتند.

پسرها بهتر از دختران در انجام تبدیلات ذهنی در 54 ماهگی عمل میکردند.
لوين(Levine) میگويد : مطالعه بیشتري برای تعیین این‌که آیا بازی‌ پازل و زبان مفاهیم فضایی را که کودکان گوش میدهند(مکالمات والدين و کودک) حقيقتا روي توسعه مهارت‌های فضایی کودکان تاثير دارد و همچنين برای بررسی اين که چرا تفاوت جنسي در پيچيدگي بازي و نوع تعاملات والدین با فرزند پسر و دختر وجود دارد. ما در حال حاضر در حال انجام یک مطالعه آزمایشگاهی هستيم که در آن از والدین خواسته شده به بازي پازل با پسران و دختران قبل از مدرسه خود بپردازند و پازل‌هايي یکسان به همه شرکت کنندگان ارائه شده است.
ما بدنبال يافتن پاسخ اين سوال هستيم که آیا والدين ورودي يکساني به فرزندان خود خواهند داد، وقتي که پازل در سطح سختي يکساني براي همه شرکت کنندگان است.
مطالعه نشان داد که والدين پسرها از زبان فضايي بيشتري استفاده میکنند تا شرايط ساخت پازل‌هاي پيچيده‌تر را مهيا نمايند. از طرف ديگر، تفاوت در ميزان تعاملات و بکارگيري زبان فضايي والدين ممکن است به دليل کلیشه‌های اجتماعی باشد که افراد مذکر را دارای مهارت‎‌های فضایی بالاتر میداند. لوین میگويد: “یافته‌های ما نشان می‌دهد که کيفيت تعاملات دختران و پسران در بازی پازل می‌تواند نشانه‌اي از توسعه جنبه‌هاي شناخت باشد که در موفقیت در رشته‌های STEM نقش خواهند داشت.

منبع : http://www.nsf.gov/news/news_summ.jsp?cntn_id=123203

چند روش برای رسم یك شش ضلعی منتظم

برای رسم یك شش ضلعی منتظم یك دایره می‌كشیم و روی آن به وسیله پرگار كمان‌هایی كه وتر آن‌ها برابر شعاع دایره است پشت سر هم جدا می‌كنیم؛ سپس نقاط حاصل را به هم وصل می‌كنیم. شکل الف

روش زیر روش دیگری است كه آقای پارسا ناظری، دانش‌آموز اول راهنمایی آن را ابداع كرده است : شکل ب
یك دایره رسم می‌كنیم :

•  قطر دایره (AB) را می‌كشیم.

•  از نقاط A و B دو دایره به شعاع‌های AB و BA می‌زنیم و محل‌های تقاطع دو دایره را C و D‌ می‌نامیم.

•  از C‌ به A و B وصل می‌كنیم و نقاط تقاطع (پاره‌خط‌ها و دایره) را K و M می‌نامیم. اگر همین كار را در مورد نقطه D انجام دهیم نقاط N و L‌ به‌دست می‌آید و شش ضلعی AKMBNL منتظم است.

  

منبع : مجله رشد برهان ریاضی دوره راهنمایی تحصیلی – دوره هجدهم شماره 1 پاییز 1391
 

روش دیگر رسم یک دایره مانند A است. از هر نقطه از دایره به دلخواه یک دایره دیگر نظیر B با همان شعاع رسم می‌شود، سپس نقاط تقاطع دو دایره A و B را مرکز دو دایره دیگر نظیر C و D با همان شعاع در نظر می‌گیریم. آخرین دایره در محل برخورد دو دایره A و C و همان شعاع به نام E حاصل می‌شود. مراکز این 5 دایره  شکل شش ضلعی منتظمی را تشکیل می‌دهد.

منبع : http://mathworld.wolfram.com/Hexagon.html

می‌توان با مماس کردن 6 دایره با شعاع‌های برابر حول یک دایره مرکزی و اتصال مراکز شش دایره مماس شده نیز شش ضلعی رسم نمود :

 

---

آیا تا به حال فکر کرده اید چرا زنبور عسل، خانه اش را بصورت شش ضلعی منتظم می سازد!؟

۱- اولین نکته ای که هست اینه که زنبور باید از میان تمام شکل‌های هندسی،شکل‌هایی رو انتخاب کنه که “کاملا متقارن” هستند تا تفاوتی نکنه که زنبور از کجا وارد خانه میشه، از بالا یا پایین یا چپ یا راست. شکل‌های کاملا متقارن عبارتند از 3 ضلعی منتظم (مثلث متساوی الاضلاع) 4 ضلعی منتظم(لوزی) 5 ضلعی منتظم،6 ضلعی منتظم،7 ضلعی منتظم و … و بینهایت ضلعی منتظم ( دایره!!!). شکلی مثل مثلث متساوی الساقین یا مستطیل کاملا متقارن نیستند. اگر بخواهیم تعریف دقیق تری از کاملا متقارن بودن ارائه کنیم باید تعداد اضلاع شکل رو در نظر بگیریم. مربع که نوع خاصی از لوزی هست 4 ضلع داره و از 4 راستا هم متقارن هست( راستای طول، عرض، قطر اصلی و قطر فرعی ). خود لوزی هم از 4 راستا متقارن است (می توانید آن 4 راستا را پیدا کنید؟!!! ) مثلث متساوی الاضلاع 3 ضلع داره و از 3 راستا هم متقارن اما مثلث متساوی الساقین تنها از یک راستا متقارن می باشد. مستطیل هم تنها در دو راستا متقارن .

۲- دومین نکته در مورد انتخاب شکل‌ها برای ساخت خانه زنبور اینه که شکل‌ها کاملا در کنار هم چفت بشوند، یعنی بعد از کنار هم چیده شدنشان فضای خالی بینشان وجود نداشته باشد. شما اگر 10 تا دایره را کنار هم قرار بدین به وضوح فضای خالی زیادی بین دایره ها خواهید داشت اما می توانید 10 مربع را بدون ایجاد حتی ذره ای فضای زائد در کنار هم بچینید. از بین تمام شکل‌های کاملا متقارن تنها 3 ، 4 و 6 ضلعی منتظم این قابلیت را دارند!!! (5 ضلعی منتظم این خاصیت را نداره مثلا اگر 5 تا 5 ضلعی منتظم رو دور تا دور یک 5 ضلعی منتظم بچینید شکلی شبیه یک گل 5 پر ایجاد میشود که لابلای گلبرگ‌هایش فاصله یا همان فضای زائد وجود داره!!! )

۳- حال ببینیم چرا زنبور از بین 3 شکل مناسب 6 ضلعی منتظم را انتخاب می‌کند.جواب خیلی ساده است. زنبور شکلی را انتخاب می کند که با مصرف موم مشخص، بیشترین فضا را در اختیارش قرار بدهد، یعنی در واقع شکلی را برمی گزیند که بتواند با آن با مقدار معین مصالح، بزرگترین خانه ممکن را بسازد. به زبان ریاضی زنبور شکلی را انتخاب میکند که به ازای محیط ثابت،بیشترین مساحت را داشته باشد.

۴- اجازه بدید قبل از اینکه بین 3 شکل بحث کنیم تکلیفمان را با 4 ضلعی منتظم ( لوزی) مشخص کنیم. در بین تمام لوزی های ممکن با محیط ثابت، مربع بیشترین مساحت را تولید می کند. در واقع لوزی 4 زاویه دارد که دو به دو با هم مساویند پس می‌شود به هر لوزی دو عدد را نسبت داد. زاویه ماکزیمم و زاویه مینیمم. به وضوح هر چه اختلاف این دو عدد بیشتر باشه لوزی شکل کشیده تری پیدامی کند و دارای مساحت کمتری هست و بیشترین مساحت وقتی رخ میدهد که اختلاف بین زاویه ماکزیمم و مینیمم حداقل ( یعنی صفر ) باشه یعنی وقتی که هر چهار زاویه ی لوزی 90 درجه باشه یعنی یک مربع داشته باشیم. اگر بخوام ریاضی تر این بحث را دنبال کنم باید بگوئیم که اگر زاویه ماکزیمم را با a و زاویه مینیمم را با b نشان بدهیم، داریم a+b=180 لذا می‌توانید به هر لوزی در واقع یک زاویه مثلا a را نسبت بدهید. به راحتی می‌توانید اثبات کنید که مساحت لوزی برابر است با (2sin(a و این مقدار وقتی حداکثرهست که مشتقش یعنی (2cos(a برابر باشد با صفر یعنی a=90 یعنی همانطور که گفتیم هر چهار زاویه لوزی 90 درجه باشند.

۵- پس در نهایت به این نتیجه رسیدیم که زنبور باید از بین مثلث متساوی الاضلاع، مربع و 6 ضلعی منتظم یکی را انتخاب کند. فرض کنید هر سه ی این شکل‌های محیطی برابر با یک داشته باشه. می خواهیم مساحت هر کدام را حساب کنیم و نشان بدهیم که مساحت 6 ضلعی منتظم از همه آن ها بیشتراست. طول هر ضلع مثلث متساوی الاضلاع با محیط 1 برابر است با یک سوم. با استفاده از قضیه ی فیثاغورس به راحتی می توانید محاسبه کنید که ارتفاع این مثلث برابر است با یک روی 3√2 ، پس مساحت این مثلث برابر است با یک روی 3√12 که تقریبا برابر است با 0.048 یک مربع با محیط 1 دارای اضلاعی به طول یک چهارم و بوضوح مساحت این مربع یک شانزدهم خواهد شد که تقریبا 0.062 اما طول هر ضلع یک 6 ضلعی منتظم با محیط یک، برابر یک ششم است.در واقع 6 ضلعی منتظم از 6 مثلث متساوی الاضلاع به طول یک ششم تشکیل شده است پس مساحت یک مثلث متساوی الاضلاع به طول یک ششم رو محاسبه کرده آن را در 6 ضرب می کنیم تا مساحت 6 ضلعی منتظم به دست بیاید. مشابها،ارتفاع این مثلث برابر با 3√ روی 12 پس مساحت این مثلث برابر است با 3√ روی 144 لذا مساحت شش ضلعی منتظم شش برابر این مساحت است یعنی 3√ روی 24 که تقریبا برابر است با 0.072 لذا ثابت کردیم که اگر مثلث متساوی الاضلاع، مربع و 6 ضلعی منتظم دارای محیط یکسان باشند 6 ضلعی منتظم مساحت بیشتری ایجاد خواهد کرد!!!

6-زنبورها ریاضیدانان قابلی هستند.البته اون کسی که این قابلیت رو در وجود اونها نهاده ریاضیدان بسیار قابل تریه یعنی خداوندی که دنیا رو بر اساس اصول ریاضی آفرید…

منبع : http://www.azarmath.com/forum/post3126.html

http://www.radiolab.org/story/294349-what-it-about-bees-and-hexagons/

عنوان : به چالش کشیدن کودکان به طور شهودی (بصری) در مورد اعداد – با پرسش در مورد تقریب تعداد اشیا یک مجموعه و یا مقایسه دو مجموعه از اشیاء بدون شمارش – افزایش توانایی کودکان را برای انجام محاسبات در پی خواهد داشت. 

 

با یک نگاه سریع به دو مجموعه نابرابر اشیا مثل کلیپس کاغذ (و یا اشیاء دیگر) بسرعت این سؤال را برای بسیاری از افراد پیش می‌آورد که کدام مجموعه بیشتر است. در یک مطالعه جدید، محققان گزارش می‌دهند که تمریناتی بسیار ساده از این نوع ، تمرین و ورزشی شهودی از اعداد، می‌تواند توانایی‌های کودکان را در حل مسائل ریاضی بهبود بخشد. (گزارش این مطالعه در مجله شناخت Cognition قابل دسترسی است.)
مطالعات انجام شده در دانشگاه ایلینویز به سمت این باور می‌رود که درگیر کردن کودکان به طورحسی و شهودی در مورد اعداد – از طریق بازی و تمرینات عددی – توانایی آنها را برای حل مسائل ریاضی تقویت می‌کند.
در این مطالعه، از کودکان خواسته شد تا برای دو گروه از اشیاء بدون شمارش آنها تعداد آن را تخمین بزنند و به سادگی و با نگاه به دو مجموعه تشخیص دهند کدام مجموعه بیشتر است. این فرایند از همه مهارت‌های ریاضی استفاده می‌کند.
در کنار تخمین زدن اشیا، از کودکانی نیز خواسته شد که درخشندگی دو سری از اشیا و همچنین طول خطوط مختلف را مقایسه کنند.
کودکانی که تمرینات سری اول را انجام دادند در تست‌های ریاضی عملکرد بهتری را در مقایسه با دانش‌آموزانی که اشیاء را به شیوه‌های دیگر از جمله درخشندگی مورد تجزیه و تحلیل قرار دادند، داشتند.
بر طبق اظهار پروفسور دانیل هاید از دانشگاه ایلینوی در مقاله EurekAlert ، در مسائل ساده‌تر ریاضی که در آن همه بچه‌ها بسیار دقیق بودند، کسانی که در مسائلی که ما آن را تمرینات اعداد بصورت شهودی و حسی می‌نامیم، انجام داده بودند، حدود 25 درصد سریع‌تر از سایر کودکان بودند.
در مسائل مشکل‌تر، کودکان با تمرینات شهودی اعداد عملکردی در حدود 15 درصد بالاتر از کودکان با سایر تمرینات داشتند.
این آزمایش‌ها به هاید و همکارانش در یافتن عوامل دیگر کمک کرد، مانند انگیزه بیشتر و یا میزان تعامل شناختی و سطح بندی آنها در مطالعه.
گرچه مطالعاتی در گذشته وجود دارد که نشان می‌دهد قابلیت بالا در انجام تکالیف عددی ارتباط معنی داری با نمرات ریاضی بالاتر دارد، هدف هاید ارائه کننده یک ارتباط علیتی در کودکان است و نشان می‌دهد که انجام چنین آزمایشاتی در واقع توانایی ریاضی دانش‌آموزان را بالا می‌برد.
وی اظهار کرد : این نتایج نشان داد که انجام تمرین کوتاه که نیاز به حدس زدن تعداد اشیاء کودکان دارد، در واقع عملکرد آزمون محاسباتی آنها را بهبود می‌دهد.

چرا بازی باعث بهبود یادگیری دروس ریاضی می‌شود؟
در کلاس‌های امروزی دیگر از این حرف‌ها خبری نیست  :

•  باید تو مغزت فرو کنی!

•  برو خودت هرجور که میفهمی یادبگیر !! 

• به هر طریق و با هر توانی بفهم !!!

•  اصلا حفظش کن !!!

•  این فرمولشه !

در زمان حاضر بازی‌ها، سرگرمی‌ها و وسایل کمک آموزشی، به کمک دانش‌آموزان می‌آیند تا مباحث و دروس را بهتر بفهمند. از دلایل موفقیت روش‌های اخیر می‌توان به جنبه‌‌های سرگرمی، حل مسئله، تفکر بهتر، تقویت مهارت‌های اجتماعی و حصول نتایج بهتر از هر دو گروه معلمان و دانش‌آموزان اشاره کرد.

 

 

سرگرمی :
بازی‌های ریاضی این امکان را به دانش‌آاموز می‌دهند تا بدون خستگی ناشی از تفکرهای کاغذ و قلمی، به انجام فعالیت‌های ریاضی بپردازد. از تاس، کارت، مهره و اعداد استفاده کرده و بطور تصادفی و با لذت بیشتر شخصا تمرین موردنظر را انجام می‌دهد.

 

عمق تفکر بیشتر :
دانش‌آموز به استفاده از استراتژی یا نقشه برد فکر می‌کند و همین انگیزه پیروزی، به فهم درس کمک می‌کند.

حل مسئله :
در حین بازی با مشکلات پیش‌بینی نشده دانش‌آموز مقابل (یا دیگر همکلاسی‌ها) روبرو می‌شود که خود به بررسی شرایط و حل بهتر هر مسئله‌ای کمک خواهد کرد.

مهارت‌های اجتماعی :
دانش‌آموز با فعالیت‌‌های گروهی و نحوه همکاری با سایرین آشنا می‌شود و به همین ترتیب در موقعیت‌های واقعی زندگی موفق‌تر عمل می‌کند.

 نتیجه بهتر :
دانش‌آموز ضمن برقراری ارتباط با سایر همکلاسی‌ها و معلمش، نتایجی را بدست می‌آورد که هرگز در فعالیت‌های انفرادی و مدرسه‌ای و عاری از انجام بازی به دست نخواهد آورد.

 

منبع :

  Teacher’s Reference Manual, Grades 4-6;” Everyday Mathematics,The University of Chicago School Mathematics Project; 2007

مترجم : مهندس ساناز خادم القرانی

 

تهمینه میلانی نوشت :  این متن را تحت تاثیر نوشته‌ای که توسط ایمیل به دستم رسید و نوشته خانم یا آقای متین نعمت خواه است، نوشتم.

از همین امروز، وقتی بچه‌هایمان به مدرسه می‌روند، به ایشان می‌گوییم : عزیزم ! من نمی‌خواهم تو بهترین باشی، فقط می‌خواهم تو خوشحال و خوشبخت باشی. اصلا مهم نیست که همیشه نمره ۲۰ بگیری، جای ۲۰ می‌توانی ۱۶ بگیری،…  اما از دوران مدرسه و کودکیت لذت ببر…

عزیزم : از “ترین” پرهیز کن، چرا که خوشبختی جایی هست که خودت را با کسی مقایسه نکنی. حتی نخواه خوشبخت‌ترین باشی. بخواه که خوشبخت باشی و برای این خواستت تلاش کن. همین ………..

یادمان هست که از وقتی به دنبال پسوند “ترین” رفتیم، خوشبختی از ما گریخت. از ۷۵ / ۱۹ لذت نبردیم چون یکی ۲۰ شده بود. از رانندگی با پراید و … لذت نبردیم، چون ماشین‌های مدل بالاتری در خیابان ، در حال خود نمایی بود. از بودن کنار عشقمان لذت نبردیم، چون مدرک تحصیلی و پول توی جیب او ، کمتر از بسیاری دیگر بود. همچنین، از خانه‌مان، از شغلمان، از درآمدمان، از خانواده و دوستانمان و  …………

مي‌خوام بگویم تحت تاثیر آموزه‌های غلط، بسیاری از ما فقط به “بهترین، بیشترین و بالاترین” چسبیدیم، در نتیجه تبدیل به انسان‌هایی افسرده و همیشه نالان شدیم. 

شاید لازم است یا بهتر بگویم وقت آن است که در آموزه‌های غلط تجدید نظر کنیم و تغییر جهت بدهیم، تا حداقل اجازه ندهیم که نحسیِ “ترین” دامن بچه‌هایمان رو بگیرد.

به مناسبت روز ملي خليج فارس

ولادیمر آرنولد

 

 

ولادیمیر ایگورویچ آرنولد 

Vladimir Igorevich Arnold متولد ۱۲ ژوئن ۱۹۳۷ در اودسا، اتحاد جماهیر شوروی سوسیالیستی و درگذشتهٔ ۳ ژوئن ۲۰۱۰ در پاریس، فرانسه، ریاضیدان روس بود. اگرچه وی را بیش از هر چیزی به خاطر قضیه کولموگروف- آرنولد – موزر در مورد پایداری سامانه‌های انتگرال‌پذیر می‌شناسند، اما او مشارکت‌های متعددی در زمینه‌های سامانه‌های دینامیکی، نظریه فاجعه، توپولوژی، هندسه جبری، مکانیک کلاسیک، قضیه تکینگی و رده‌بندی ای دی ای داشته است.

On teaching mathematics

چرا باید ریاضیات بخوانیم؟ راجر بیکن، فیلسوف انگلیسی در سال 1267 میلادی پاسخ این سوال را چنین داده است :

کسی که این کار را نکند نمی‌تواند چیزی از بقیه علوم و هر آنچه دراین جهان است بفهمد… چیزی که بدتر است این است که کسانی که ریاضیات نمی‌دانند به جهالت خودشان پی نمی‌برند ودر نتیجه در پی چاره‌جویی بر نمی‌آیند. می‌توانم همین جا سخنرانیم را پایان دهم، اما ممکن است بعضی‌ها فکر کنند که شاید خیلی چیزها در هفت قرن گذشته تغییر کرده باشد….  شاهدی تازه تر می‌آورم، پال دیراک از خالقان مکانیک کوانتومی معتقد است که وقتی تئوری فیزیکی‌ای را پایه ریزی می‌کنید، نباید به هیچ شهود فیزیکی‌ای اعتماد کنید. پس به چه چیزی اعتماد کنید؟ … به گفته این فیزیکدان مشهور فقط به برنامه‌ای متکی بر ریاضیات، ولو این‌که در نگاه اول ربطی به فیزیک نداشته باشد. در حقیقت در فیزیک تمامی ایده‌های صرفا فیزیکی رایج در ابتدای این قرن را کنار گذاشته‌اند، در حالی که الگوهای ریاضی‌ای که به زرادخانه فیزیکدان‌ها راه یافته‌اند، به تدریج معنای فیزیکی یافته‌اند. در اینجاست که قابل اعتماد بودن ریاضیات به روشنی رخ می‌نمایاند. بنابراین الگوسازی ریاضی روشی پربار برای شناخت در علوم طبیعی است. اکنون می‎خواهیم الگوهای ریاضی را از نگاهی دیگر یعنی مسئله آموزش ریاضی بررسی کنیم.

سه روش آموزش ریاضیات

در آموزش ریاضیات روسی (هم در دبیرستان و هم در مقاطع بالاتر) ما پیرو نظام آموزشی اروپایی هستیم که بر اساس بورباکی‎‌ای سازی ریاضیات بنا شده است، نیکلاس بورباکی نام مستعار گروهی از ریاضیدانان فرانسوی است که ازسال 1939 به انتشار مجموعه‌ای از کتاب‌ها دست زده‌اند که در آنها شاخه‌های اصلی ریاضیات جدید به طور اصولی، یعنی به روش اصل موضوعی براساس نظریه مجموعه‌ها، شرح داده شده است. اصولی کردن ریاضیات به نوعی تصنعی کردن آموزش آن منجر می‌شود و این زیانی است که بورباکی‌ای سازی به آموزش ریاضیات وارد کرده است. نمونه‌ای شگرف مثال زیر است :

از دانش آموز سال دومی مدرسه ای در فرانسه پرسیده‌اند، دو بعلاوه ی سه چقدر می‌شود؟، پاسخ چنین بود : چون جمع تعویض پذیر است می‌شود سه بعلاوه دو.

پاسخی واقعا قابل تامل! کاملا درست است، اما دانش‌آموزان حتی به جمع کردن ساده این دو عدد هم فکر نکرده‌اند، زیرا در تعلیم آنها تکیه بر ویژگی‌های عمل‌ها بوده است. در اروپا معلمان متوجه نارسایی‌های این روش شده‌اند و بورباکی‌سازی را کنار گذاشته‌اند.

طی چند سال گذشته آموزش ریاضیات روسی دستخوش تغییراتی به سبک آمریکایی شده است. اساس این سبک این اصل است : آنچه را که برای کاربردهای عملی لازم است، آموزش بدهید. در نتیجه کسی که فکر می‌کند به ریاضیات احتیاجی نخواهد داشت، اصلآ لازم نیست آن را بخواند. ریاضیات درسی اختیاری در دوره راهنمایی و دبیرستان است، مثلآ یک سوم دانش‌آموزان دبیرستانی جبر نمی‌خوانند. نتیجه این امر را در مثال زیر روشن کرده‌ایم :

در آزمونی برای دانش‌آموزان چهارده ساله آمریکایی از آنها خواسته شده بود که برآورد کنند (نه این‌که حساب کنند، بلکه برآورد کنند) که اگر 80 درصد از عدد 120 رابرداریم، این عدد چه تغییری می‌کند. سه نوع پاسخ را می‌توانستند انتخاب کنند : زیاد می‌شود، تغییری نمی‌کند، کمتر می‌شود.

تقریبآ 30 درصد دانش‌آموزان سؤال شونده، پاسخ درست را برگزیده بودند. یعنی این‌که پاسخ‌ها را تصادفی انتخاب کرده بودند. نتیجه : هیچ کس هیچ چیز نمی‌داند. دومین ویژگی شاخص روش آموزش ریاضی آمریکایی، کامپیوتری کردن آن است. جذابییت کار با کامپیوتر به خودی خود به گسترش توانایی‌های فکری کمکی نمی‌کند. مثالی دیگر از یکی از آزمون‌های آمریکا میاوریم :

کلاسی 26 دانش‌آموز دارد. این دانش‌آموزان می‌خواهند با اتومبیل به مسافرت بروند. در هر اتومبیل یک نفر از اولیا و چهار دانش‌آموز جا می‌شوند. چند نفر از اولیا را می‌توانیم دعوت کنیم؟

جوابی که همه داده بودند، 65 نفر بود جواب کامپیوتر است ودانش‌آموزان می‌دانستند که اگر جواب باید عددی صحیح باشد، می‌توان بلایی سر ممیز آورد، مثلآ می‌توان اصلآ آن را برداشت.

نمونه دیگری از یکی از آزمون‌های رسمی دانش آموزی در سال 1992 می‌آوریم :

رابطه کدام زوج شباهت بیشتری به رابطه میان زاویه و درجه دارد :

الف) زمان وساعت

ب) شیر وکوارت (واحد اندازه‌گیری مایعات برابر با 44/1 لیتر)

ج) مساحت و اینچ مربع

پاسخ، مساحت و اینچ مربع است، زیرا درجه کوچکترین واحد اندازه گیری زاویه و اینچ مربع کوچکترین واحد اندازه‌گیری مساحت است، اما ساعت را می‌‌توان به دقیقه هم تقسیم کرد.

طراح این مسئله مسلمآ مطابق نظام امریکایی می‌اندیشیده است. می‌ترسم که طولی نکشد که ما هم به چنین سطح نازلی برسیم.(جو برمن، استاد ریاضی در نیویورک توضیح داده که (از نظر او که آمریکایی است)، پاسخ درست این مسئله کاملآ روشن است. او گفت که اصل مطلب این است که من می‌توانم میزان حماقت طراح این مسئله را دقیقآ تصور کنم. مایه شگفتی است که تعداد زیادی ریاضیدان و فیزیکدان برجسته در ایالات متحده وجود دارد.

امروزه آموزش ریاضیات ما آرام آرام از نظام اروپایی به نظام آمریکایی تبدیل می‌شود. مطابق معمول، باز هم عقبیم، حدود سی سال از اروپا عقب‌تریم و بنابراین سی سال بعد زمان آن فرا می‌رسد که اوضاع را سر و سامان دهیم و از چاهی که با طناب نظام آموزشی آمریکایی به آن رفته‌ایم، بیرون بیاییم.

سطح آموزش ریاضی سنتی ما بسیار بالا و بر اساس آموزش مسئله‌های حساب بوده است. حتی تا همین بیست سال پیش هم خانواده‌هایی بودند که نسخه‌هایی از کتاب‌های قدیمی مربوط به مسئله‌های سود و زیان را داشتند. در حال حاضر، همه این‌ها از بین رفته است. در آخرین اصلاحات آموزش ریاضی، جبری سازی، دانش‌آموزان را به روبات تبدیل کرده است.

مساله‌های حساب است که بی‌محتوایی ریاضیاتی را که تدریس می‌کنیم، نشان می‌دهند. مثلآ این مسئله را در نظر بگیرید :

1.سه تا سیب داریم. یکی را برمی‌داریم.چند تا باقی مانده است؟

2.چند برش با اره لازم است، تا تکه‌ای هیزم را به سه بخش تقسیم کنیم؟

3.تعداد خواهران بوریس از تعداد برادرانش بیشتر است. در خانواده او تعداد دختران چند تا بیشتر از تعداد پسران است؟

از منظر حساب اینها مساله‌های متفاوتی هستند، زیرا محتوایشان فرق می‌کند. همچنین، تلاش فکری لازم برای حل کردن مسئله‌ها هم کاملآ متفاوت است، هر چند که الگوی جبری هر یک از آنها یکی است : 2=1-3 جالب توجه‌ترین نکته در ریاضیات، فراگیر بودن شگفت‌آور الگوها و کارایی نامحدود آنها در مساله‌های علمی است.

به قول ولادیمیر مایاکوفسکی، شاعر بزرگ روس : کسی که اولین بار دو بعلاوه دو می‌شود چهار را مطرح کرده است، حتی اگر با جمع کردن دو تا ته سیگار با دو تا ته سیگار دیگر به این حقیقت رسیده باشد، ریاضیدان بزرگی بوده است. هر کس پس از او به این نتیجه رسیده باشد، حتی اگر چیزهای بسیار بزرگتری، مثل لوکوموتیوها را با هم جمع کرده باشد، ریاضیدان نیست. لوکوموتیو شماری، روش آمریکایی آموزش ریاضیات است. چنین چیزی مصیبت بار است. طرز پیشرفت فیزیک در ابتدای سال اخیر نمونه‌‌ای است که نشان می‌دهد ریاضیات لوکوموتیوی به مراتب از ریاضیات ته سیگاری به درد نخورتر است : ریاضیات کاربردی نتوانسته همگام با فیزیک پیشرفت کند، در حالی که ریاضیات نظری هر آنچه را که فیزیکدانان برای بسط بیشتر دانش خودشان نیاز داشته‌اند، برایشان فراهم کرده است. ریاضیات لوکوموتیوی از روال معمول عقب می‌ماند : تا حساب کردن با چرتکه را آموزش بدهیم، سر و کله کامپیوترها پیدا می‌شود. باید شیوه فکر کردن را آموزش بدهیم، نه طرز فشار دادن دکمه‌ها را.

منبع: http://vahidy.mihanblog.com