رسم يك شش ضلعی منتظم

چند روش برای رسم یك شش ضلعی منتظم

برای رسم یك شش ضلعی منتظم یك دایره می‌كشیم و روی آن به وسیله پرگار كمان‌هایی كه وتر آن‌ها برابر شعاع دایره است پشت سر هم جدا می‌كنیم؛ سپس نقاط حاصل را به هم وصل می‌كنیم. شکل الف

روش زیر روش دیگری است كه آقای پارسا ناظری، دانش‌آموز اول راهنمایی آن را ابداع كرده است : شکل ب
یك دایره رسم می‌كنیم :

•  قطر دایره (AB) را می‌كشیم.

•  از نقاط A و B دو دایره به شعاع‌های AB و BA می‌زنیم و محل‌های تقاطع دو دایره را C و D‌ می‌نامیم.

•  از C‌ به A و B وصل می‌كنیم و نقاط تقاطع (پاره‌خط‌ها و دایره) را K و M می‌نامیم. اگر همین كار را در مورد نقطه D انجام دهیم نقاط N و L‌ به‌دست می‌آید و شش ضلعی AKMBNL منتظم است.

منبع : مجله رشد برهان ریاضی دوره راهنمایی تحصیلی – دوره هجدهم شماره 1 پاییز 1391
 

روش دیگر رسم یک دایره مانند A است. از هر نقطه از دایره به دلخواه یک دایره دیگر نظیر B با همان شعاع رسم می‌شود، سپس نقاط تقاطع دو دایره A و B را مرکز دو دایره دیگر نظیر C و D با همان شعاع در نظر می‌گیریم. آخرین دایره در محل برخورد دو دایره A و C و همان شعاع به نام E حاصل می‌شود. مراکز این 5 دایره  شکل شش ضلعی منتظمی را تشکیل می‌دهد.

منبع : http://mathworld.wolfram.com/Hexagon.html

می‌توان با مماس کردن 6 دایره با شعاع‌های برابر حول یک دایره مرکزی و اتصال مراکز شش دایره مماس شده نیز شش ضلعی رسم نمود :

آیا تا به حال فکر کرده اید چرا زنبور عسل، خانه اش را بصورت شش ضلعی منتظم می سازد!؟

۱- اولین نکته ای که هست اینه که زنبور باید از میان تمام شکل‌های هندسی،شکل‌هایی رو انتخاب کنه که “کاملا متقارن” هستند تا تفاوتی نکنه که زنبور از کجا وارد خانه میشه، از بالا یا پایین یا چپ یا راست. شکل‌های کاملا متقارن عبارتند از 3 ضلعی منتظم (مثلث متساوی الاضلاع) 4 ضلعی منتظم(لوزی) 5 ضلعی منتظم،6 ضلعی منتظم،7 ضلعی منتظم و … و بینهایت ضلعی منتظم ( دایره!!!). شکلی مثل مثلث متساوی الساقین یا مستطیل کاملا متقارن نیستند. اگر بخواهیم تعریف دقیق تری از کاملا متقارن بودن ارائه کنیم باید تعداد اضلاع شکل رو در نظر بگیریم. مربع که نوع خاصی از لوزی هست 4 ضلع داره و از 4 راستا هم متقارن هست( راستای طول، عرض، قطر اصلی و قطر فرعی ). خود لوزی هم از 4 راستا متقارن است (می توانید آن 4 راستا را پیدا کنید؟!!! ) مثلث متساوی الاضلاع 3 ضلع داره و از 3 راستا هم متقارن اما مثلث متساوی الساقین تنها از یک راستا متقارن می باشد. مستطیل هم تنها در دو راستا متقارن .

۲- دومین نکته در مورد انتخاب شکل‌ها برای ساخت خانه زنبور اینه که شکل‌ها کاملا در کنار هم چفت بشوند، یعنی بعد از کنار هم چیده شدنشان فضای خالی بینشان وجود نداشته باشد. شما اگر 10 تا دایره را کنار هم قرار بدین به وضوح فضای خالی زیادی بین دایره ها خواهید داشت اما می توانید 10 مربع را بدون ایجاد حتی ذره ای فضای زائد در کنار هم بچینید. از بین تمام شکل‌های کاملا متقارن تنها 3 ، 4 و 6 ضلعی منتظم این قابلیت را دارند!!! (5 ضلعی منتظم این خاصیت را نداره مثلا اگر 5 تا 5 ضلعی منتظم رو دور تا دور یک 5 ضلعی منتظم بچینید شکلی شبیه یک گل 5 پر ایجاد میشود که لابلای گلبرگ‌هایش فاصله یا همان فضای زائد وجود داره!!! )

۳- حال ببینیم چرا زنبور از بین 3 شکل مناسب 6 ضلعی منتظم را انتخاب می‌کند.جواب خیلی ساده است. زنبور شکلی را انتخاب می کند که با مصرف موم مشخص، بیشترین فضا را در اختیارش قرار بدهد، یعنی در واقع شکلی را برمی گزیند که بتواند با آن با مقدار معین مصالح، بزرگترین خانه ممکن را بسازد. به زبان ریاضی زنبور شکلی را انتخاب میکند که به ازای محیط ثابت،بیشترین مساحت را داشته باشد.

۴- اجازه بدید قبل از اینکه بین 3 شکل بحث کنیم تکلیفمان را با 4 ضلعی منتظم ( لوزی) مشخص کنیم. در بین تمام لوزی های ممکن با محیط ثابت، مربع بیشترین مساحت را تولید می کند. در واقع لوزی 4 زاویه دارد که دو به دو با هم مساویند پس می‌شود به هر لوزی دو عدد را نسبت داد. زاویه ماکزیمم و زاویه مینیمم. به وضوح هر چه اختلاف این دو عدد بیشتر باشه لوزی شکل کشیده تری پیدامی کند و دارای مساحت کمتری هست و بیشترین مساحت وقتی رخ میدهد که اختلاف بین زاویه ماکزیمم و مینیمم حداقل ( یعنی صفر ) باشه یعنی وقتی که هر چهار زاویه ی لوزی 90 درجه باشه یعنی یک مربع داشته باشیم. اگر بخوام ریاضی تر این بحث را دنبال کنم باید بگوئیم که اگر زاویه ماکزیمم را با a و زاویه مینیمم را با b نشان بدهیم، داریم a+b=180 لذا می‌توانید به هر لوزی در واقع یک زاویه مثلا a را نسبت بدهید. به راحتی می‌توانید اثبات کنید که مساحت لوزی برابر است با (2sin(a و این مقدار وقتی حداکثرهست که مشتقش یعنی (2cos(a برابر باشد با صفر یعنی a=90 یعنی همانطور که گفتیم هر چهار زاویه لوزی 90 درجه باشند.

۵- پس در نهایت به این نتیجه رسیدیم که زنبور باید از بین مثلث متساوی الاضلاع، مربع و 6 ضلعی منتظم یکی را انتخاب کند. فرض کنید هر سه ی این شکل‌های محیطی برابر با یک داشته باشه. می خواهیم مساحت هر کدام را حساب کنیم و نشان بدهیم که مساحت 6 ضلعی منتظم از همه آن ها بیشتراست. طول هر ضلع مثلث متساوی الاضلاع با محیط 1 برابر است با یک سوم. با استفاده از قضیه ی فیثاغورس به راحتی می توانید محاسبه کنید که ارتفاع این مثلث برابر است با یک روی 3√2 ، پس مساحت این مثلث برابر است با یک روی 3√12 که تقریبا برابر است با 0.048 یک مربع با محیط 1 دارای اضلاعی به طول یک چهارم و بوضوح مساحت این مربع یک شانزدهم خواهد شد که تقریبا 0.062 اما طول هر ضلع یک 6 ضلعی منتظم با محیط یک، برابر یک ششم است.در واقع 6 ضلعی منتظم از 6 مثلث متساوی الاضلاع به طول یک ششم تشکیل شده است پس مساحت یک مثلث متساوی الاضلاع به طول یک ششم رو محاسبه کرده آن را در 6 ضرب می کنیم تا مساحت 6 ضلعی منتظم به دست بیاید. مشابها،ارتفاع این مثلث برابر با 3√ روی 12 پس مساحت این مثلث برابر است با 3√ روی 144 لذا مساحت شش ضلعی منتظم شش برابر این مساحت است یعنی 3√ روی 24 که تقریبا برابر است با 0.072 لذا ثابت کردیم که اگر مثلث متساوی الاضلاع، مربع و 6 ضلعی منتظم دارای محیط یکسان باشند 6 ضلعی منتظم مساحت بیشتری ایجاد خواهد کرد!!!

6-زنبورها ریاضیدانان قابلی هستند.البته اون کسی که این قابلیت رو در وجود اونها نهاده ریاضیدان بسیار قابل تریه یعنی خداوندی که دنیا رو بر اساس اصول ریاضی آفرید…

منبع : http://www.azarmath.com/forum/post3126.html

http://www.radiolab.org/story/294349-what-it-about-bees-and-hexagons/