اعداد فیبوناتچی

یکی از کهن ترین متون ریاضی کشف شده جهان، قطعه پاپیروسی موسوم به پاپیروس ریند (1) است که تصویر آنرا در شکل ملاحظه می کنید. این قطعه پاپیروس که یکی از مهم‌ترین یافته‌های باستان‌شناسی مرتبط با ریاضیات محسوب می شود، اطلاعات بسیار ارزشمندی را از ریاضیات مصر باستان در اختیار ما گذاشته است.

این قطعه پاپیروس طومار مانند كه تقریباً 30 سانتیمتر عرض و 5/5 متر طول دارد در مقبره‌ای در شهر باستانی تِبس در ساحل شرقی رود نیل كشف شد. قدمت این قطعه پاپیروس كه مطالب آن به خط تصویری (هیروگلیف) نوشته شده به 1650 سال پیش از میلاد باز می‌گردد.
بر روی این پاپیروس، نخستین نمادهای مورد استفاده توسط بشر برای نمایش عملیات ریاضی را می‌توان مشاهده كرد. به عنوان مثال در آن زمان علامت جمع را به شكل یك جفت پا نشان می‌دادند كه جهت حركت آنها به سوی عددی بود كه باید با عدد قبلی جمع بسته می‌شد.
در سال 1858 میلادی یك حقوق‌دان و مصرشناس اسكاتلندی به نام الكساندر هنری ریند (2) در یكی از سفرهایی كه به مصر داشت، این قطعه پاپیروس را در بازار شهر قدیمی لوكسور در جنوب مصر خریداری كرد. سرانجام چند سال بعد یعنی در سال 1864 موزه بریتانیا این پاپیروس را از ریند خرید و اكنون نیز از آن در همین موزه نگاهداری می‌شود.

مطالب این پاپیروس شامل مسائلی در حساب، جبر، هندسه و نیز مطالبی در مورد كاربرد ریاضیات در نقشه‌برداری، ساختمان‌سازی و حسابداری است.
یكی از مسائل جالب مطرح شده در این پاپیروس، مسأله شماره 79 ام آن است. صورت این مسأله چنین است:
“هفت نفر هركدام هفت گربه دارند. هر گربه می‌تواند هفت موش را بگیرد. هر موش می‌تواند هفت خوشه گندم را بجود و هر خوشه گندم، هفت دانه گندم می‌دهد. مجموع همه این آدم‌ها، گربه‌ها، موش‌ها، خوشه‌ها و دانه‌های گندم چقدر است؟”
به بیان امروزی می‌توان گفت كه این مسأله درواقع مسأله تعیین مجموع جملات یك تصاعد هندسی با قدر نسبت 7 است و نشان می دهد مصریان باستان از گذشته های بسیار دور با تصاعدهای هندسی آشنا بوده اند.

«با تشکر از سرکار خانم مائده قضاوی برای ارسال مطلب»

Rinus Roelofs در سال 1954 متولد شد. پس از مطالعه ریاضیات کاربردی در دانشگاه فنی Enschede، مدرک مجمسه سازی از آکادمی هنر را نیز از همین دانشگاه کسب کرد. او کارهای خود را در شهرداری‌ها، موسسات و شرکت ها در هلند به نمایش گذاشته، ولی در سایر نقاط جهان از جمله روم به عنوان بخشی از جشن گرامیداشت صدمین سالگرد تأسیس Escher در سال 1998 نیز وجود دارد. در این سایت می‌توانید بطور مفصل‌تری با کارهای او آشنا شوید.

مجسمه سازی   

مدل‌های نمونه‌سازی سریع           

انیمیشن‌های اشکال سه بعدی 

 اطلاعات نمایشگاه‌ها  

   

خیام اگر زباده مستی خوش باش

با ساده رخی اگر نشستی خوش باش

چون عاقبت کار جهان نیستی است

انگار که نیستی چو هستی خوش باش

روزی که گذشت هیچ از او یاد مکن فردا که نیامدست فریاد مکن
برنامده و گذشته بنیاد منه حالی خوش باش و عمر بر باد مکن

خیام اول کسی است که به تحقیق منظم علمی در معادلات درجات اول و دوم و سوم پرداخته، و طبقه‌بندی تحسین‌آوری از این معادلات آورده است، و در حل تمام صور معادلات درجه سوم منظماً تحقیق کرده، و به حل (در اغلب موارد ناقص) هندسی آنها توفیق یافته، و رساله وی در علم جبر، که مشتمل بر این تحقیقات است، معرف یک فکر منظم علمی است؛ و این رساله یکی از برجسته‌ترین آثار قرون وسطائی و احتمالاً برجسته‌ترین آنها در این علم است. (جورج سارتن)

  غیاث الدین ابوالفتح، عمر بن ابراهیم خیام (خیامی) در سال 439 هجری (1048 میلادی) در شهر نیشابور و در زمانی به دنیا آمد که ترکان سلجوقی بر خراسان، ناحیه ای وسیع در شرق ایران، تسلط داشتند. وی در زادگاه خویش به آموختن علم پرداخت و نزد عالمان و استادان برجسته آن شهر از جمله امام موفق نیشابوری علوم زمانه خویش را فراگرفت و چنانکه گفته اند بسیار جوان بود که در فلسفه و ریاضیات تبحر یافت. خیام در سال 461 هجری به قصد سمرقند، نیشابور را ترک کرد و در آنجا تحت حمایت ابوطاهر عبدالرحمن بن احمد , قاضی القضات سمرقند اثربرجسته خودرادر جبرتألیف کرد.
خیام سپس به اصفهان رفت و مدت 18 سال در آنجا اقامت گزید و با حمایت ملک شاه سلجوقی و وزیرش نظام الملک، به همراه جمعی از دانشمندان و ریاضیدانان معروف زمانه خود، در رصد خانه ای که به دستور ملکشاه تأسیس شده بود، به انجام تحقیقات نجومی پرداخت. حاصل این تحقیقات اصلاح تقویم رایج در آن زمان و تنظیم تقویم جلالی (لقب سلطان ملکشاه سلجوقی) بود.
در تقویم جلالی، سال شمسی تقریباً برابر با 365 روز و 5 ساعت و 48 دقیقه و 45 ثانیه است. سال دوازده ماه دارد 6 ماه نخست هر ماه 31 روز و 5 ماه بعد هر ماه 30 روز و ماه آخر 29 روز است هر چهارسال، یکسال را کبیسه می خوانند که ماه آخر آن 30 روز است و آن سال 366 روز است هر چهار سال، یکسال را کبیسه می خوانند که ماه آخر آن 30 روز است و آن سال 366 روز می شود در تقویم جلالی هر پنج هزار سال یک روز اختلاف زمان وجود دارد در صورتیکه در تقویم گریگوری هر ده هزار سال سه روز اشتباه دارد.
بعد از کشته شدن نظام الملک و سپس ملکشاه، در میان فرزندان ملکشاه بر سر تصاحب سلطنت اختلاف افتاد. به دلیل آشوب ها و درگیری های ناشی از این امر، مسائل علمی و فرهنگی که قبلا از اهمیت خاصی برخوردار بود به فراموشی سپرده شد. عدم توجه به امور علمی و دانشمندان و رصدخانه، خیام را بر آن داشت که اصفهان را به قصد خراسان ترک کند. وی باقی عمر خویش را در شهرهای مهم خراسان به ویژه نیشابور و مرو که پایتخت فرمانروائی سنجر (پسر سوم ملکشاه) بود، گذراند. در آن زمان مرو یکی از مراکز مهم علمی و فرهنگی دنیا به شمار می رفت و دانشمندان زیادی در آن حضور داشتند. بیشتر کارهای علمی خیام پس از مراجعت از اصفهان در این شهر جامه عمل به خود گرفت.
دستاوردهای علمی خیام برای جامعه بشری متعدد و بسیار درخور توجه بوده است. وی برای نخستین بار در تاریخ ریاضی به نحو تحسین برانگیزی معادله های درجه اول تا سوم را دسته بندی کرد، و سپس با استفاده از ترسیمات هندسی مبتنی بر مقاطع مخروطی توانست برای تمامی آنها راه حلی کلی ارائه کند. وی برای معادله های درجه دوم هم از راه حلی هندسی و هم از راه حل عددی استفاده کرد، اما برای معادلات درجه سوم تنها ترسیمات هندسی را به کار برد؛ و بدین ترتیب توانست برای اغلب آنها راه حلی بیابد و در مواردی امکان وجود دو جواب را بررسی کند. اشکال کار در این بود که به دلیل تعریف نشدن اعداد منفی در آن زمان، خیام به جوابهای منفی معادله توجه نمی کرد و به سادگی از کنار امکان وجود سه جواب برای معادله درجه سوم رد می شد. با این همه تقریبا چهار قرن قبل از دکارت توانست به یکی از مهمترین دستاوردهای بشری در تاریخ جبر بلکه علوم دست یابد و راه حلی را که دکارت بعدها (به صورت کاملتر) بیان کرد، پیش نهد.
خیام همچنین توانست با موفقیت تعریف عدد را به عنوان کمیتی پیوسته به دست دهد و در واقع برای نخستین بار عدد مثبت حقیقی را تعریف کند و سرانجام به این حکم برسد که هیچ کمیتی، مرکب از جزء های تقسیم ناپذیر نیست و از نظر ریاضی، می توان هر مقداری را به بی نهایت بخش تقسیم کرد. همچنین خیام ضمن جستجوی راهی برای اثبات “اصل توازی” (اصل پنجم مقاله اول اصول اقلیدس) در کتاب شرح ما اشکل من مصادرات کتاب اقلیدس (شرح اصول مشکل آفرین کتاب اقلیدس)، مبتکر مفهوم عمیقی در هندسه شد. در تلاش برای اثبات این اصل، خیام گزاره هایی را بیان کرد که کاملا مطابق گزاره هایی بود که چند قرن بعد توسط والیس و ساکری ریاضیدانان اروپایی بیان شد و راه را برای ظهور هندسه های نااقلیدسی در قرن نوزدهم هموار کرد. بسیاری را عقیده بر این است که مثلث حسابی پاسکال را باید مثلث حسابی خیام نامید و برخی پا را از این هم فراتر گذاشتند و معتقدند، دو جمله ای نیوتن را باید دو جمله ای خیام نامید. البته گفته می شودبیشتر از این دستور نیوتن و قانون تشکیل ضریب بسط دو جمله ای را چه جمشید کاشانی و چه نصیرالدین توسی ضمن بررسی قانون های مربوط به ریشه گرفتن از عددها آورده اند.

استعداد شگرف خیام سبب شد که وی در زمینه های دیگری از دانش بشری نیز دستاوردهایی داشته باشد. از وی رساله های کوتاهی در زمینه هایی چون مکانیک، هیدرواستاتیک، هواشناسی، نظریه موسیقی و غیره نیز بر جای مانده است. اخیراً نیز تحقیقاتی در مورد فعالیت خیام در زمینه هندسه تزئینی انجام شده است که ارتباط او را با ساخت گنبد شمالی مسجد جامع اصفهان تأئید می کند.
تاریخ نگاران و دانشمندان هم عصر خیام و کسانی که پس از او آمدند جملگی بر استادی وی در فلسفه اذعان داشته اند، تا آنجا که گاه وی را حکیم دوران و ابن سینای زمان شمرده اند. آثار فلسفی موجود خیام به چند رساله کوتاه اما عمیق و پربار محدود می شود. آخرین رساله فلسفی خیام مبین گرایش های عرفانی اوست.
اما گذشته از همه اینها، بیشترین شهرت خیام در طی دو قرن اخیر در جهان به دلیل رباعیات اوست که نخستین بار توسط فیتزجرالد به انگلیسی ترجمه و در دسترس جهانیان قرار گرفت و نام او را در ردیف چهار شاعر بزرگ جهان یعنی هومر، شکسپیر، دانته و گوته قرار داد. رباعیات خیام به دلیل ترجمه بسیار آزاد (و گاه اشتباه) از شعر او موجب سوء تعبیرهای بعضاً غیر قابل قبولی از شخصیت وی شده است. این رباعیات بحث و اختلاف نظر میان تحلیلگران اندیشه خیام را شدت بخشیده است. برخی برای بیان اندیشه او تنها به ظاهر رباعیات او بسنده می کنند، در حالی که برخی دیگر بر این اعتقادند که اندیشه های واقعی خیام عمیق تر از آن است که صرفا با تفسیر ظاهری شعر او قابل بیان باشد. خیام پس از عمری پربار سرانجام در سال 517 هجری (طبق گفته اغلب منابع) در موطن خویش نیشابور درگذشت و با مرگ او یکی از درخشان ترین صفحات تاریخ اندیشه در ایران بسته شد.

 Kaprekar

Dattaraya Ramchandra Kaprekar ریاضیدان هندی (1905–1986) كه در زمینه نظریه اعداد چند نظریه جالب را بیان كرده است.

Kaprekar Number

عدد كاپركار به عدد صحیح غیر منفی گفته می‌شود كه مربع عدد را به توان به دو قسمت به نحوی تقسیم كرد كه جمع آن دو قسمت عدد اصلی شود.
به مثال‌های زیر توجه كنید :
 

8 + 1 = 9	92 = 81
20 + 25 = 45	452 = 2025
88 + 209 = 297	2972 = 88209
998 + 001 = 999	9992 = 998001
238 + 4641 = 4879	48792 = 23804641
3008 + 14336 = 17344	173442 = 300814336
289940 + 248521 = 538461	5384612 = 289940248521

 
به عبارت دیگر برای هر عدد كاپریكارn رقمی كه k >= 1 (برای n = 1,2,3,4,…) زوج معادلات زیر برقرار است :

 K=q+r

  K² = q * 10ⁿ + r

 به نحوی كه :

q >= 1 

 10ⁿ > r >= 0 

Kaprekar Series

یك عدد 4 رقمی را در نظر بگیرید كه تمام ارقام آن تكراری نباشد، در ابتدا عدد را به صورت صعودی و سپس نزولی مرتب كنید و از یك دیگر كم كنید، حاصل تفریق را نگه دارید و همین عمل را بر روی حاصل تفریق انجام دهید تا به یك عدد ثابت برسید مشاهده می‌كنید كه به عدد 6174 می‌رسید، عدد 6174 را هسته عمل كاپركار می‌نامیم. توجه كنید كه مراحل تكرار تا رسیدن به عدد 6174 بیشتر از 7 مرحله نمی‌شود.
به عنوان مثال عدد 3124 را در نظر بگیرید، ابتدا عدد را به صورت صعودی 4321 و سپس به صورت نزولی 1234 مرتب می‌كنیم و عمل تفریق را انجام می‌دهیم :
 

  : 3241
4321
-1234
————
3087

 : 3087
8730
-0378
————
8352

 : 8352
8532
– 2358
———–
6174

 : 6174
7641
-1467
———–
6174

این عمل را می‌توان بر روی اعداد سه رقمی نیز انجام داد. در طی انجام این مراحل برای اعداد سه رقمی به عدد 495 می‌رسیم.
به مثال زیر توجه كنبد :

 : 957
975
-579
——
396

 : 396
963
-369
——
594

 : 594
954
-459
——
495

 : 495
954
-459
——
495

 

شاید بزرگترین چالش معلمان در کلاس، واداشتن دانش‌آموزان به تفکر مستقل باشد. وقتی آنان صاحب چنین مهارتی شوند، می‌توانند بیشتر و عمیق‌تر یاد بگیرند. گذشته از آن می‌توانند مسائلی را که در زندگی واقعی با آنها روبرو می‌شوند، حل کنند و طرز فکر مناسب برای این کار را هم یاد بگیرند…..

 بخش‌هایی از کتاب آموزش و ارزشیابی مهارت‌های زندگی فکر کردن، جنی ویلسون، کت مورداک مترجم : حسین دانش‌فر ( برای استفاده معلمان، دبیران و مدرسان مراکز تربیت معلم و برگزیده جشنواره کتاب‌های آموزشی رشد)

این کتاب انواع تفکر (نقادانه، خلاق و تاملی) را معرفی می‌کند و به کمک تمرین‌های فراوان به معلم یاد می‌دهد که چگونه مهارت فکر کردن را در دانش‌آموزان خود پرورش بدهد، روش تفکر آنان را بشناسد و محیط کلاس را برای ایجاد پرورش این مهارت آماده کند

قسمت اول

گزیده‌ای از فصول‌ اول، دوم و سوم کتاب…

اهمیت فکر کردن
تفکر اساس یادگیری است. تا کنون معلمان همواره به این نکته توجه داشته‌اند که دانش‌آموزانشان چه موقع، به چه چیز و چگونه فکر می‌کنند. امروزه معلمان بیشتری از خود می‌پرسند : چگونه می‌توانیم به دانش‌آموزان یاد بدهیم که مستقل، خلاق، چراجو و ژرف اندیش باشند؟ اگر بخواهیم دانش‌آموزان ما مبدل به فراگیران موفق و مادام العمری شوند که بتوانند با موفقیت مشکلات خود را در محیط مدرسه و خارج از آن حل کنند، باید مهارت‌های گوناگون اندیشیدن را یاد بگیرند.
در زمینه تفکر باید موارد زیر را در نظر گرفت :

• تفکر، اساس یادگیری و یاددهی است.

• دانش‌آموزان مانند هم فکر نمی‌کنند. یک برنامه آموزشی باید به این تفاوت‌ها توجه داشته باشد و خود را با آنها سازش بدهد.

• تفکر روش و دقیق، تسهیل کننده یادگیری به ویژه توسط خود دانش‌آموزان است.

• ….

انواع تفکر
اقسام تفکر زیاد است و برای هدف‌های مختلف، روش‌های فکر کردن هم یکسان نیست. مثلا، اگر با منطقی فکر کردن بتوانیم مسئله‌ای را حل کنیم، شاید بهتر باشد که به سوی تفکر خلاق برویم. روش فرا شناخت هم در مواردی که تصمیم‌گیری در میان است، می‌تواند مفید باشد. در حالی که روش‌های تفکر نقادانه، خلاق و تا حدی تاملی معلومند و آموزش داده می‌شوند، در مورد فراشناخت- که شاید حساس‌ترین روش برای پیشرفت دانش‌آموز باشد- سوء تفاهم‌هایی وجود دارد و کمتر در کلاس درس کاربرد می‌یابد. فراشناخت شامل خود ارزشیابی فعال، تصمیم‌گیری فعال و در نظر داشتن هدف‌های فردی است. واداشتن دانش‌آموزان به فکر کردن و یادگرفتن از این راه، در آموزش و پرورش بسیار اهمیت دارد.
به عبارت روشن‌تر، فرا شناخت به معنای آنست که دانش‌آموز (یا معلم) می‌داند به چه می‌اندیشد، آنچه را که می‌اندیشد، ارزشیابی می‌کند و به تفکرات خود نظم‌ می‌بخشد. 
تفکر به روش تعاملی نیز در آموختن نقش مهمی دارد، اما مشابه با فراشناخت نیست. زمانی که در حیطه فراشناخت قرار داریم، تمرکز بر فکر خودمان است. در حالی که در حیطه تاملی، به چیزی غیر از تفکر خود متمرکزیم.

تفکر به  روش تاملی، عمیق‌تر از فکر کردن درباره یک موضوع است و به هر نوع فکر هدف داری اشاره می‌کند که در آن، فراگیر فعالانه، به طور مداوم و با دقت ایده‌ها را به منظور رسیدن به درک عمیق‌تر، در نظر می‌گیرد. جان دیویی (1933) همواره به این نوع تفکر توجه داشته‌ است.  

تفکر کردن را می‌توان به روش‌های متفاوتی سازماندهی کرد :

1. تفکر تاملی و فراشناخت

2. تفکر خلاق

3. تفکر منظقی و نقادانه

پرسش‌های نمونه برای تامل :

آیا تا بحال از دانش‌آموزان خود پرسیده‌اید که :

• درباره نوع تفکر و یادگیری خود و دنیای اطراف سوال بپرسند؟ (تاملی و فراشناخت)

• درباره فرآیند یادگیری تصمیم بگیرند؟ (تاملی و فراشناخت)

• راه حل‌های جایگزین شونده‌ای بیابند؟ (خلاقانه)

• فرضیه‌ها را به چالش بگیرند؟(خلاقانه)

• داده‌ها و اطلاعات را تحلیل کنند؟ (نقادانه)

• درباره ایده‌ها قضاوت کنند، یا آنها را مورد ارزیابی قرار دهند؟ (نقادانه)

قسمت دوم

 نقش معلم

معلم در بهبود بخشیدن به طر فکر دانش‌‌آموزان، مانند همه مهارت‌های دیگر نقش محوری دارد و معلمانی که با استفاده از روش‌های مختلف مهارت فکر کردن را در کلاس زنده نگه می‌دارند، اهمیت موارد زیر را می‌دانند :

• بلند بلند فکر کنید

• برای تفکر ارزش قائل شوید

• روش فکر کردن را به روشنی در کلاس توجیه کنید

• طوری از دانش‌آموزان بپرسید که توان فکر کردن آنان افزایش یابد

• برای فکر کردن، برنامه‌ریزی و سازماندهی کنید

• روش‌های فکر کردن را به دانش‌آموزان یاد بدهید

گزیده‌ای از فصول چهار کتاب …

سازمان‌دهی کلاس درس

در این فصل راه‌هایی برای گسترش دادن و عمق بخشیدن به فکر معرفی شده‌اند. در این کلاس‌ها، محتوای درس مهم است و فعالیـ‌ها هدف دارند. به عبارت دیگر، دانش‌آموزان بایأ وادار به تفکر درباره موضوع باارزشی شوند. در سازماندهی برای پرورش نیروی تفکر، معلم باید سیاست‌هایی را در نظر بگیرد، از جمله :

• پرسیدن

• به چالش درآوردن

• تشویق به ریسک پذیری

• تشویق به سوال کردن و ایجاد بحث‌های تفکربرانگیز 

مهارت تفکر باید موضوع مورد بحث همیشگی کلاس باشد. معلم‌ها باید درباره اقسام تفکری صحبت کنند که در کلاس‌ها مورد نیازند. در اینصورت دانش‌آموزان کاربرد زبان فکر کردن را در طراحی، بحث‌ها و تامل در کارهای خود یاد می‌گیرند. نقش معلم در بالا بردن بحث‌های کلاسی و سوال کردن درباره تفکر مهم است، اما دانش‌آموزانند که باید فکر کنند، بپرسند و جواب بدهند. درست پرسیدن، هسته اصلی تفکر کارآمد است. اما این کار زمانی تاثیرگذار است که معلم :

• پرسش‌های چالش برانگیز طرح کند و هدف برایش کاملا روشن باشد.

• بعد از پرسش و پاسخ، وقتی را برای فکر کردن اختصاص دهد.

• ….صفحات 21 و 22 کتاب

وقتی از همفکری با دیگران صحبت می‌کنیم، در واقع وارد بحث فلسفی شده‌ایم. با این اقدام، دانش‌آموزان بهتر می‌توانند به مدارج بالاتر تفکر برسند و درباره مسائل ذهنی و مجرد هم بیاندیشند. دانش‌آموزان را باید از طریق بحث، به ارزیابی ایده‌ها، باورها و ارزش‌ها واداشت. معلم هم در این میان، نقش تسهیل کننده‌ای را خواهد داشت که می‌تواند با طرح پرسش‌های خود، مسیر بحث را هدایت کند و مشوق عمق بخشیدن به تفکرات شود، اما خود او نیز در واقع یک عضو از کلاس است و نباید کنترل کننده بحث‌ها باشد.

ساختارهای بسیار خوبی وجود دارند که به کمک آنها می‌توان جامعه کاوشگر را توسعه داد(1995, Golding, 2002, cam). کیفیت بحث‌های فلسفی را می‌توان با طرح پرسش‌های سطح بالا و مبتنی بر دو خاصه اساسی، یعنی اعتماد و کاوش بهبود بخشید. در این زمینه، توافق‌نامه‌ها و ساختارهایی هم برای ایجاد تسهیل در بحث‌های فلسفی وجود دارد که روش سقراطی در پرسش کردن، یکی از آنهاست.

پرسش‌های سقراطی :  از پرسش‌های زیر برای بحث کردن استفاده کنید.

1. پرسش‌های مرجع : روی منبعی متمرکز شوید که اطلاعات قابل بحث از آن گرفته شده است.

2. پرسش‌های حمایت کننده : اکنون، به اطلاعات اضافی فکر کنید که ممکن است به گفته‌های بحث انگیز یاری برساند.

3. پرسش‌های جدل برانگیز : به نقطه نظر افرادی توجه کنید که با مطلب مورد بحث موافق نیستند.

4. پرسش‌های نهایی : بعضی از فعالیت‌های اجتماعی حاصل از بحث (قبول یا رد موضوع) کدامند؟

 در نهایت دانش‌آموزان باید تصمیم بگیرند که مسئله مورد بحث را بپذیرند یا رد کنند.

معلم‌ها امروزه آشنایی زیادتری با ابزارهای یادگیری از قبیل روش‌های دوبونو (شش کلاه تفکر) و غیره پیدا کرده‌اند، اما آموزش تنهای آنها، کارساز نیست. بلکه، آن ابزارها را باید در چارچوب یک محتوای معنادار و مرتبط، برای افزایش مهارت‌های تفکر بکار گرفت. ما باید این گونه مهارت‌ها را به‌طور روشن آموزش دهیم و از هدف‌دار شدن آنها هم مطمئن شویم/