عمومی کردن رياضی

Poularizing Mathematic

 علی رجالی

آئین فرزانگی جلد سوم سال 1374
قسمتی از این متن در کارگاه آموزش ریاضی بیست و پنجمین کنفرانس ریاضی کشور در تاریخ 9 فروردین 1373 ارائه شده است.

نویسنده از این‌که جرات کرده و برای دبیران عزیز مطلب تهیه می‌کند احساس غرور کرده و به دست آوردن این توان را در شاگردی استادانی چون آقایان احمد سپهری، سید محمود نوربخش، حسین‌علی موحدی، صفرعلی جمالی، حسین مشتاقیان‌پور، محمود تلگینی، مرتضی امام جمعه‌زاده، کمال حقیقی، مرحوم مجید زندآتشبار (دبیران محترم ریاضی اصفهان)، دکتر مهدی رجبعلی پور، دکتر جواد بهبودیان، دکتر ابی عبدا… فتاحی، دکتر منوچهر وصال، دکتر ناصر حدیدی (استادان دانشگاه شیراز)، پروفسور اندرسون (Professor T.W. Anderson) و پروفسور افران  (Professor Bradly Efron، استادان دانشگاه استانفورد) و انجام تحقیقات زیر نظر پروفسور استین (Professor Charles Stein) و پروفسور دیاکونس (Professor Persi Diaconis) می‌داند.

حضور در کلاس درس این بزرگان به عنوان دانش‌آموز و دانشجو و تاثیر مثبتی که بسیاری از آنان در وجود نویسنده داشته‌اند و سرانجام حضور در جمع دبیران ریاضی اصفهان در بعدازظهرهای دوشنبه جراتی را به وجود آورده که درباره‌ی معلم، برای معلم و پیرامون معلم و نقش حساس او حداقل در «عمومی کردن ریاضی» بتوان سخن گفت.
آن‌چه در آن کلاس‌های عشق به ریاضی و دلسوختگی نسبت به شغل معلمی آموخته شده و مطالبی که در اثر همنشینی و معاشرت و گفت و شنود با معلمان عزیز به دست آمده، به نویسنده اجازه می‌دهد تا از ایجاد انگیزه در دانش‌آموز و دانشجو توسط معلمان خوب سخن گفته و نقش حساس معلم در عمومی کردن ریاضی را یادآوری کند.
از طرف دیگر مسأله‌ی «عمومی کردن ریاضی» سال‌هاست مورد توجه جوامع ریاضی جهان بوده و انجمن ریاضی ایران نیز از شروع دهه‌ی هفتاد به این مسأله می‌اندیشیده و قدم‌های مثبتی نیز برداشته است. اتحادیه‌ی بین المللی ریاضی  (MU,International Mathematics Union) با همکاری یونسکو (Unesco) و کمیسیون بین المللی آموزشگران ریاضی (ICMI) سال 2000 میلادی (مقارن بهمن 1378 تا بهمن 1379) را سال جهانی ریاضی (YM2000) نامیده‌اند. هدف آن‌ها از این نامگذاری، معرفی ریاضی و اهمیت آن در سطح جهان و لزوم پرداختن به آموزش این علم پایه‌ای است. اکنون نه تنها در سطح دانشگاه‌ها و مدارس، مسایل آموزش ریاضی بحث می‌شوند، بلکه دیگر واژه‌هایی از قبیل «بیسوادی ریاضی» و لزوم یادگیری ریاضی در سطح عام آن و به اصطلاح دیگر «ریاضیات خیابانی» (Street Mathematics) در جوامع مختلف مطرح است.
ایرانیان که در اثر تلاش بسیاری از دانشمندان و معلمان خوب همواره به طور سنتی به ریاضی علاقه و اعتقاد داشته‌اند و این شاخه‌ی مثبت خود را بارها در سطح جهان به نمایش گذاشته‌اند، بستر مناسبی را برای رشد ریاضی و عمومی نمودن آن به وجود آورده‌اند.

رسالت ما این است که با حفظ و تقویت سنت‌های عمیق عمیق ریاضی خود، از فعالیت‌های جاری جهانی نیز استفاده کرده و در این راستا در حالی که امکان آن را بیش‌تر از بسیاری دیگر از کشورها داریم قدم‌های مثبتی به جلو برداریم.

اما چرا ریاضی؟

ریاضی به دلیل ابعاد مختلف آن اهمیت فراوان دارد. زیبایی، قدرت تعمیم، استدلال پذیری و دقت از خصایص مهم این علم است. کاربردها و نقش پایه‌ای ریاضی در پیشرفت و گسترش علوم و این‌که از یک طرف به راحتی در خدمت همه علوم قرار گرفته و از سوی دیگر این آمادگی را دارد که در اثر نیاز سایر علوم پیشرفت کند، اهمیت آن را دوچندان می‌سازد. قدرت اندیشیدن و استدلال صحیح، فکر منطقی  واصولی که در اثر مطالعه و کر کردن با ریاضی در شخص به وجود می‌آید و نظم فکری که در اثر مماشات با ریاضی حادث می‌گردد، همه بر اهمیت ریاضی می‌افزایند. [1,2]
ریاضی از یک طرف، بدون نیاز به امکانات فراوان و در اثر تعلیم مناسب قابل یادگیری است و از سوی دیگر همواره تعمق فکری و ذهن سالم را برای آموزشگر و محقق به ارمغان می‌آورد. با توجه به این جنبه‌ها و این‌که در ایران از نظر سنتی و تاریخی علاقه به ریاضی وجود داشته و استعدادهای درخشان در آن قابل شکوفایی هستند، باید برای آموزش آن سرمایه گذاری کرد.

جا دارد در این‌جا نمونه‌هایی از زیبایی‌ها و کارآیی ریاضی ارائه شود :

ابتدا بشر بر اساس نیاز خود اعداد طبیعی را به کار گرفت و پس از کشف عد صفر، کلیه‌ی اعداد صحیح را شناخت، و به کمک آن‌ها بسیاری از مسایل روزمره را توانست حل کند. اما قدرت تعمیم پذیری در اندیشه‌ی ریاضی اجازه داد تا اعداد گویا برای دسترسی به جواب کلیه‌ی معادلات خطی و سرانجام اعداد حقیقی برای حفظ خواص پیوستگی در هندسه و با قبول اصل کمال (اگرچه قبل از آن هم، اعداد حقیقی مثبت غیر گویا را فیثاغورث برای محاسبه‌ی طول وتر نیز به کار می‌برده است. [4,5]) در ریاضی مطرح شوند [3]، تا این‌که اندیشیدن به حل معادلاتی نظیر: x²+1=0  که در آن زمان شاید هنوز نیازش محسوس نبوده، اعداد مختلط را به بشر معرفی می‌کند.
بررسی خواص اعداد و ایجاد ساختارهای مختلف، فضاهای متری (Metric spaces)، توپولوژی و سایر سیستم‌های ریاضی را در فکر بشر به وجود آورد که برخی از آن‌ها به دلیل نیاز و بعضی دیگر پس از مطرح شدن مورد استفاده قرار گرفته‌اند. این نمونه‌ای از پیشرفت ریاضی در شاخه‌ای از آن است، که در عین زیبایی، قدرت بهره‌وری و توان تعمیم پذیری ریاضی را یک‌جا عرضه کند.

به شاخه‌ی دیگری از ریاضی، یعنی نظریه اعداد می‌نگریم :

 مسأله آخر فرما : تنها جواب‌های صحیح معادله‌ی زیر برای n>2 ، جواب‌های بدیهی آن است. Xⁿ+Yⁿ=Zⁿ
این مسأله سال‌هاست که ریاضی‌دانان را به خود مشغول کرده است. و اگرچه تا کنون حل این مساله نهایی نشده، ولی تلاش‌های ریاضی دانان برای حل آن که صورتش به سادگی قابل بیان است، باعث ایجاد رشته‌های متعددی در ریاضی شده که هر کدام علاوه بر اهمیت تئوری‌اش، کاربردهایی را نیز در سایر علوم مخصوصا فیزیک به همراه داشته‌اند. [6,7]

برخی از این زیبایی‌ها برای عموم و حداقل دانش‌آموزان ما قابل بیان هستند، چون با ریاضی روزمره به زبان ساده نزدیک‌اند، که بجاست از آن‌ها استفاده شود.
از نظر کاربردها، ریاضی یک طیف است، هرگز نمی‌توان ریاضی محض را از ریاضی کاربردی جدا کرد. به طور مثال شاخه‌های بسیار باریکی از نظریه‌ی اعداد و جبر که به راحتی جزء ریاضی محض به حساب می‌آیند، در رابطه با مسایل رمزنگاری (Cryptography) و نظریه‌ی کدها  (Coding Theory) کاربرد دارند[8,9]. از طرف دیگر در بسیاری از زمینه‌های آمار، مثلا آمار حیاتی (Biostatistics) تئوری‌های بسیار قوی ریاضی برای حل مسایل آن به کار رفته است. برای روشن شدن مطلب، به حل مشکل داده‌های مفقود شده (Missing Data) در نمونه‌های بسیار کوچک پزشکی به کمک ابزارهای قوی و تئوری آمار و ریاضی می‌توان اشاره کرد.
این مثال آخر و مثال‌هایی از قبیل سری‌های فوریه (Fourier Series) و غیره که در اثز نیاز سایر علوم، شاخه‌هایی از ریاضی را به وجود آورده‌اند که در سایر مسایل ریاضی به کار گرفته شده و یا با قدرت تعمیم در ریاضی وسعت یافته‌اند را می‌توان به عنوان نثال‌هایی از تاثیرگذاری علوم دیگر در ریاضی نام برد. ریاضی این سعه‌ی صدر را دارد که به راحتی سایر تکنیک‌ها و فرهنگ‌ها را بپذیرد، و با اصول و سنت‌های خود آن‌ها را محک زده و تصحیح و تکمیل کند.

چرا عمومی کردن؟

ریاضی اگرچه علم مجردی است و گاهی در کوتاه مدت، کاربرد خاصی برای برخی از تئوری‌های آن قابل تصور نیس، ولی به دلیل گستردگی و آزادگی کارش، در ابعاد مختلف زندگی بشر نفوذ کرده است. در حال حاضر برای حل مسائل اقتصادی، مدلسازی عناصر و فاکتورهای اقتصادی و کمیت‌هایی که در رابطه با این‌گونه امور نقش دارند به برخی از مسایل ریاضیات محض هم متوسل شده‌اند.
فیزیک، شیمی و علوم مهندسی که همواره متاثر از ریاضی بوده و پایه اصلی این علوم را ریاضی تشکیل می‌دهد. در علوم اجتماعی، مدل بندی‌ها و تست‌های مختلف اجتماعی و در علوم تربیتی، ارزشیابی‌ها و انجام آزمایش‌های متدوال این علوم که در اثر انجام تئوری‌های مختلف این رشته‌ها ثابت و یا رد می‌شوند همه به ریاضی متکی‌اند. علوم پزشکی از ابعاد مختلفش به ریاضی و آمار وابسته‌اند و هیچ تحقیق مهم پزشکی و دارو سازی نیست که یک تست آماری و یا کارهای ظریف‌تر و دقیق‌تر ریاضی و آمار را به همراه نداشته باشد. قضاوت به طور کلی یک روش آماری است، آن‌طور که طبابت هم این چنین است.
پس به هر حال ریاضی در زندگی روزمره‌ی انسان‌ها نقش اساسی داردو به همین دلیل باید مفاهیمی همانند «بی‌سوادی ریاضی» برای کسانی که ریاضی نمی‌دانند و دراثر عدم اطلاع همانند بی‌سوادان در خواندن و نوشتن دچار اشکال می‌شوند در جوامع مطرح شوند.
در ایران که زمانی مهد توسعه‌ی ریاضی بوده و هنوز ریشه‌ی این علم مهم در دل جوانان ما به همت دبیران ارزشمند ریاضی جوانه‌هایی را نهاده است، جا دارد که قدم‌های موثری در این راستا برداشته شود. با استفاده از صدا و سیما و به طور کلی از رسانه‌های عمومی، انتشار نشریات خاص، بها دادن به استعدادهای درخشان در این رشته همه می‌توانند در این رابطه موثر باشند ولی به نظر نویسنده، مهم‌‎ترین راه برای مبارزه با این بی‌سوادی ایجاد علاقه در دانش‌آموزان برای آگاهی یافتن و کشف توانایی‌های خود در رابطه با مطالعه‌ی ریاضی است. مهم‌تر از همه این است که دانش‌آموز از ریاضی نترسد، جرات کند ریاضی را درست بخواند و مساله حل کند.[10]

اما چگونه؟

ریاضی علمی است که آموزش و یادگیری آن به معلم وابستگی تام دارد. کدامیک از ما هستیم که نقش تدریس صحیح، تشویق به جا و یا حل یک مساله‌ی زیبای ریاضی که هنوز در ذهنمان باقی است را تجربه نکرده باشیم؟ همه‌ی این‌ها به معلم برمی‌گرددو معلمدر این راستا نقش اساسی را بازی می‌کند. در کتاب استانداردهای حرفه‌ای برای تدریس ریاضی [11]، آمده است که «معلمان کلید اصلی برای تغییر در روش‌های آموزش و یادگیری ریاضی هستند و لذا برای انجام این مسئولیت مهم حمایت دراز مدت و اختصاص منابع مالی و علمی وسیعی ضروری است» جا دارد اضافه شود که، بدون کمک معلمان و حمایت همه جانبه و طلب اعتقاد آنان هیچ کاری در آموزش نمی‌توان لنجلم داد، به خصوص در ریاضی که آموزش آن صد در صد به معلم بستگی دارد. 

هنوز تاثیر منفی تغییر نظام آموزشی مخصوصا ایجاد دوره‌ی راهنمایی بدون آماده سازی و جلب اعتقاد معلمان فراموش نشده است. آن تغییری که اثرات مخربش سال‌ها پس از اجرا مشاهده شد.بیش‌ترین اشکالات در اثر عدم آمادگی معلمان بود. [12]
با همه مسائلی که در سی سال گذشته برای معلمان وجود داشته، اما هنوز استعدادهای درخشانی در بین معلمان و علاقه‌مندانی عاشق پیشه برای این شغل مقدس در اجتماع وجود دارند ولی اگر به حیثیت اجتماعی و مسائل اقتصادی این قشر فعال فکر نشود، نه تنها شوقی در دانش‌آموزان برای یادگیری ریاضی به وجود نمی‌آید بلکه با بی‌توجهی، ضربه‌های دیگری نیز بر بدنه‌ی آموزش ریاضی وارد خواهد شد.
پروفسور هاوسون [13] می‌گوید: «معلمان در آموزش ریاضی نقش مرکزی و کلیدی دارند. ما ممکن است توجه زیادی روی مسائل برنامه‌ریزی، توسعه برنامه‌ها، تاثیر تکنولوژی جدید و تحقیقات در سایر مسائل آموزش ریاضی داشته باشیم، ولی یک معلم در کلاس درس و مجموعه‌ی معلمان در یک کشور هستند که وضعیت ریاضی ان کشور را تعیین می‌کنند. میزان خوبی ریاضی یک کشور به نحوه‌ی کار معلمان آن بستگی تام دارد.»
تجربه نشان داده است که معلم خوب می‌تواند هر کتاب و هر برنامه‌ای را به نحو عالی ارائه کند. البته این بدین معنی نیست که به مسائل و مشکلات برنامه‌ها و سایر امکانات آموزشی توجه نشود، بلکه با اصلاح آن‌ها و داشتن معلمان معتقد، آگاه و علاقه‌مند می‌توان استعدادهای ریاضی را بیش‌تر شکوفا کرد. با وجود همه‌ی علاقه‌ها و استعدادها و تلاش‌هایی که شده هنوز بدنه‌ی آموزش ریاضی در کشور ضعیف است، هنوز دانش‌آموز متوسط ایزانی از ریاضی می‌ترسد و احساس می‌کند توان یادگیری آن را ندارد. راه‌هایی برای حل این مشکل و یا حداقل برای جلوگیری از تشدید این مساله وجود دارد برخی از این روش‌ها در مقالاتی از قبیل «روشی ساده برای تدریس ریاضی» [14]، «سوال کردن در درس ریاضی»[15]، «چهارده توصیه به دبیران ریاضی» [16]، و «مسائلی در رابطه با امتحانات ریاضی»[17] مطرح شده‌اند. اما راه‌های دیگری هم وجود دارند. نویسنده با اقتباس از کتاب استانداردهای حرفه‌ای برای تدریس ریاضی [11]، نکات دیگری را در این رابطه به شرح زیر می‌تواند مطرح کند :

به طور کلی برای ایجاد جاذبه بیش‌تر بین دانش‌آموزان برای آموختن به‌تر ریاضی، باید وضعیت تدریس ریاضی در مدارس تا حدی تغییر کند و موارد زیر مورد توجه قرار گیرند :

• کلاس به عنوان یک جامعه ریاضی در نظر گرفته شود. در حال حاضر تک تک افراد مهم هستند. کار گروهی در کلاس‌های ما کمتر تجربه می‌شود و اثر متقابل یادگیری مشترک فراموش شده است. این نه تنها از نظر آموزش ریاضی مساله آفرین است، بلکه در ساختار آینده‌ی جامعه هم تاثیر منفی می‌گذارد. فرهنگ عدم همکاری و رقابت غیر اصولی از مدارس ما شروع شده و به جامعه کشیده می‌شود. همانطوری که می‌بینیم معمولا پروژه‌های بزرگ که نیاز به همکاری افراد گروه‌های مختلف دارند، چندان موفق نیستند، اگرچه تک تک افراد درگیر در پروژه‎‌ها پرتوان و متخصص هستند. پس معلمان با تشویق دانش‌آموزان به انجام کارهای گروهی می‌توانند روحیه‌ی همکاری و مشارکت را در جامعه رونق دهند. دانش‌آموزان در اثر انجام کارهای گروهی، خود نقاط ضعف یکدیگر را رفع  کرده و در اثر آموزش مشترک و همکاری متقابل، رقابت غیر صحیح از میان آنان برداشته می‌شود. 

• برای تأیید مطالب ریاضی، از منطق قوی و استدلال صحیحی استفاده شود. در حال حاضر، حرف معلم و نوشته‌ی کتاب تنها مدارک مورد استناد دانش‌آموزانند. دانش‌آموز باید درک کند که هرچه که مستدل و منطقی است بپذیرد و آن چه که پایه‌ی منطقی ندارد قبول نکند. این موضوع به اندیشیدن صحیح و یادگیری بهتر مطالب ریاضی به دانش‌آموز کمک می‌کند و او را آماده می‌سازد تا در جامعه هم، فقط مسائل منطقی و اصولی را بپذیرد. بدآموزی‌ها و آموزش‌های غلط نیز در اثر این نوع آموزش از بین خواهد رفت.  

• استدلال و اثبات بیش‌تر مورد توجه باشد. حافظه‌ی تنها برای آموزش ریاضی مضر است. دانش‌آموزی که ریاضی را نفهم، با حفظ کردن آن نمره‌ای را کسب می‌کند ولی اگر عادت کرد که ریاضی را خوب درک کند و با استدلال قوی بپذیرد، هرگز فراموش نمی‌کند. در اثر تکرار روش اول، جذابیت ریاضی برای دانش‌آموز از بین می‌رود. 

• گمانه زنی، اختراع و حل مساله رایج گردد. به جای تکیه بر مکانیزم پیدا کردن جواب، بهتر است برای حل مسائل و اثبات قضایا، ذهنیت لازم به وجود آید و پس از آن دانش‌موز با درک مساله از طریق ذهنی سعی کند جواب‌ها حدس زده و با دقت حدس خود را به محک بگذارد. برخی از ما معلمان، بیش‌تر به روش‌ها و تکنیک‌های خاص حل مساله اهمیت داده و اجازه نمی‌دهیم دانش‌آموز ما جرات حل مساله جدید را پیدا کند. با اجزه دادن به دانش‌آموزان که ایده‌های خود را در رابطه با حل مسائل و قضایا مطرح کنند و تشویق آنان، می‌توان این راه را برایشان هموار کرد. 

• ارتباط بین ریاضی، ایده‌ها و کاربردهایش معرفی شوند. ما در مدارس خود، مطالب متنوع ریاضی را تدریس می‌کنیم بدون اینکه ارتباط و وحدت موجود بین آنان را بررسی کنیم. ریاضی یک سری مفاهیم خشک و بی ارتباط نیست. آنچه که در ساختارهای جبری مانند گروه، حلقه و میدان یافت می‌شود در آنالیز هم در ساختار اعداد نقش داشته و از نظر تاریخی ریشه در همان مفاهیم دارد. دانش‌آموز باید این ارتباط را با راهنمایی معلم درک کند.

در این راستا از معلمان انتظار می‌رود :

• به دانش‌آموزان کمک کندد تا با هم کار کنند که بتوانند در اثر بحث و تبادل و نظر مفاهیم ریاضی را به‌تر درک کرده و حس همکاری و مشارکت در آنان تقویت شود.

• به دانش‌آموزان کمک کنند که بیش‌تر به خود متکی باشند و یاد گیرند که شک کنند و سپس با استدلال شک خود را برطرف کنند. اکنون دانش‌آموزان ما بیش‌تر متکی به معلمان و کتاب‌های حل المسائل هستند. در صورتی که اگر به خود اطمینان داشته باشند بیش‌تر موفق خواهند شد.

• به دانش‌آموزان کمک کنند که با استفاده از منطق صحیح ریاضی، استدلال کرده و از تکیه به حرف معلم و کتاب به عنوان تنها منابع موثق پرهیز کنند.

• به دانش‌آموزان کمک کنند که فرضیه بسازند، کشف نمایند و مسأله را خود حل کنند. قدم به قدم در کنار دانش‌آموز بودن و راه‌های تکراری را از او خواستن، کمکی به آموزش به‌تر ریاضی نمی‌کند. دانش‌آموز باید خود فکر کند ولی اجازه داشته باشد افکار خویش را ارئه دهد.

• به دانش‌اموز کمک کنند که ریاضی، ایده‌ها و کاربردهایش را با هم مرتبط سازند.

• تشویق صحیح و به موقع و ایجاد انگیزه‌ی لازم دو عنصر بسیار مؤثر در آموزش به‌تر ریاضی و در نتیجه عمومی ساختن ریاضی در بین دانش‌آموزان هستند. معلمان مفید و مؤثر آن‌هایی هستند که بتوانند با شناسایی علایق، جرأت دادن، به بازی گرفتن و سؤال مناسب مطرح کردن [15]،همه دانش‌آموزان را به یادگیری ریاضی ترغیب کنند [18].

دانش‌اموزان موقعی می‌توانند ریاضی را به خوبی یاد بگیرند و به آن علاقه مند شوند که خود ادراک ریاضی خویش را بسازند، نه این‌که ریاضی را به صورت یک سری فرمول خشک و بی روح در مدتی کوتاه در حافظه‌ی خود جای دهند. دانش‌آموزان برای درک مطالبی که به آن‌ها آموخته می‌شود باید به کارهایی مثل :

امتحان دادن                      انتقال دادن
نمایش و ارائه دادن             حل کردن (به طور مستقل)
به کار بردن                     اثبات کردن
مراوده کردن                    ارتباط دادن

و از این قبیل امور بپردازند و این کارها به‌تر انجام می‌شود اگر :

• دانش‌آموزان به صورت گروهی کار کنند.

• در بحث و مناظره شرکت کنند.

• تدریس کنند.

• اطلاعات خود را به طرق کتبی و شفاهی ارائه دهند

و از این قبیل امور بپردازند و این کارها به‌تر انجام می‌شود اگر :

• دانش‌آموزان به صورت گروهی کار کنند.

• در بحث و مناظره شرکت کنند.

• تدریس کنند.

• اطلاعات خود را به طرق کتبی و شفاهی ارائه دهند.

و به طور کلی مسئولیت یادگیری را بپذیرند. در این راستا معلمان باید سعی کنند که :

• با شناخت علایق و استعدادهای دانش‌آموان، این استعدادها را با تدریس ریاضی مشغول کنند.

• فرصت‌هایی را پدید آوردن که برای عمیق سازی درک ریاضی و شناخت کاربردهای آن مورد استفاده قرار گیرند.

• محیط مناسبی را برای رشد ایده‌های ریاضی و گسترش قدرت جستجو و تحقیق در دانش‌آموزان فراهم آورند.

• دانش‌آموزان را برای درک ارتباط بین موضوع‌های مختلف درسی و زمینه‌های قبلی آن‌ها راهنمایی کنند.

• برای درک به‌تر ریاضی از تکنولوژی های جدید استفاده کنند. در این راستا نقش آموزش کامپیوتر و به کارگیری این ابزار برای پاموزش به‌تر ریاضی بسیار اهمیت دارد.

• دانش‌آموزان را برای انجام کارهای گروهی و اندیشیدن فردی و خود اتکایی راهنمایی و تشویق کنند. 

هر یک از موارد فوق نیاز به دقت نظر و توجه خاص معلمان دارد. مثلا امتحان دادن یکی از ابزارهای اصلی برای نمایش معلومات و محملی برای آزمایش دانش‌آموزان است. اگر به خوبی از این ابزار استفاده نشود، اگر سوالات به طور منطقی مطرح نگردند و یا برای استعدادهای مختلف در سطوح متفاوت نباشند و اگر فقط هدف‌های خاصی را دنبال کنند. اگر فقط برای عده‌ای دانش‌آموزان قوی مطرح شوند، اگر فقط جنبه‌ی مسابقه‌ای داشته [19] و یا حافظه سنج باشند، نه تنها کمکی به آموزش به‌تر ریاضی نمی‌کنند، بلکه انگیزه‌ی لازم را در دانش‌آموزان از بین می‌برند، آن‌ها را یا می‌ترسانند و یا به طور کلی از ریاضی گریزان می‌سازند.
انتقال دادن اطلاعات در مراوده کردن نیز نیاز به هدایت و راهنمایی، (و نه کمک) معلمان دارد و از طریق تدریس یک انش‌آموز برای دیگران و یا انجام کارهای گروهی، حل مسائل به طور مشترک و غیره امکان پذیر است و این روش کار توسط آموزشگران ریاضی توصیه می‌شود. نکته‌ی مهم دیگر این است که ریاضی برای همه است [20] و تنها چند درصد از دانش‌آموزان خوب کلاس نیستند که باید ریاضی بخوانند همه استعداد ریاضی خواندن دارند، فقط باید معلمان استعدادها را شناسایی کنند و به تناسب قدرت درک دانش‌آموزان مفاهیم مختلف را با سرعت مناسب به دانش‌آموزان عرضه کنند. [11]

در این رابطه، حتی این عقیده هم در مجامع بین المللی مطرح می‌شود که با توجه به این‌که به دلیل پیشرفت تکنولوژی، ریاضی در دسترس همگان قرار می‌گیرد، باید در همه‌ی سیستم‌های آموزشی و حتی در مبارزه با بی‌سوادی در سطح وسیع آموزش داده شود. آن قسمت از ریاضی که با سرعت و به سادگی توسط کامپیوتر قابل انجام است باید از برنامه‌ها حذف و مفاهیم اصلی، کاربردها و به طور کلی ریاضیات ملموس باید در برنامه‌های آموزشی گنجانده شود [21].

اما در برنامه‌ریزی‌ها، تعادل ضروری است و هر تغییری باید حساب شده و به دور از تقلید باشد. نویسنده در اثر بررسی روند گسترش ریاضی در کشورهایی نظیر آمریکا و استرالیا، دگرگونی سریع از یک وضعیت به وضعیت دیگر و عدم توجه به مطالب عمیق ریاضی را مضر به حال آموزش می‌داند. در ایران سنت‌های خوب و علاقه به دروسی مانند هندسه و نظریه‌ی اعداد (حساب استدلالی) که به فکر ریاضی کمک می‌کند. وجود دارند که باید محفوظ بمانند. استفاده از شهود، رعایت تسلسل مطالب، کمک به دانش‌آموزان جهت انجام کار مشترک و به کارگیری تکنولوژی جدید، جرأت یافتن و همکاری در امر تدریس و اندیشیدن صحیح نیز لازم است مورد توجه باشد.
همه دانش‌آموزان باید روش‌های ساده ریاضی را یاد گرفته، مفاهیم مختلف را درک کرده و آن‌ها را به کار گیرند.
کاربردهای ریاضی فقط در سایر رشته‌ها نیست، بلکه در بعضی مواقع یک موضوع ریاضی برای حل موضوعی دیگر در ریاضی، به کار گرفته می‌شود. به طور مثال بسیاری از موضوعاتی که در دبیرستان تدریس می‌شوند، مستقیما در خدمت کاربرد عملی نیستند ولی به عنوانپیش‌نیاز برای سایر دروس پیشرفته باید آموخته شوند. این‌ها موارد دیگری است که باید توسط معلمان به دانش‌آموزان تفهیم شوند. همه‌ی دانش‌آموزان باید درک کنند که ریاضی ابزار قدرتمندی برای ارتباطات علمی است و به طور کلی زبان مشترک علوم است. و سرانجام دانش‌آموزان باید اعتماد به نفس داشته و در مدل سازی، حدس زدن، پیش بینی و تصویر وقایع تجربه به دست آورند.
اما مهم‌تر از همه‌ی این‌ها، معلمان هستند که باید جایگاه ویژه‌ی خود را در جامعه به دست آورند. این جایگاه فقط جایگاه مادی نیست، اگرچه این ود نیز مهم است ولی شخصیت واقعی، و سنت‌های خوب ما در رابطه با معلمان باید مجددا احیاء گردد.
جوامعی وضعیت خوب آموزشی و در نتیجه پیشرفت اجتماعی و اقتصادی دارند که معلمان آن‌ها جایگاه ویژه دارند. پیشرف‌های کشورهایی مانند ژاپن، چین و تا حدی آلمان ریشه در آموزش این کشورها دارد. با محلوظ داشتن این مسایل و از آن طرف دقت کردن معلمان ریاضی، می‌توان در انتظار آینده‌ای امید بخش برای ریاضی کشور بود.

مراجع :
1- کورانت، ر.ورابینز،ه،ریاضیات چیست؟ ترجمه آقای حسن صفاری، انتشارت خوارزمی (1349)
2- آلکساندروف، آ.د،ریاضیات (محتوی، روش و اهمیت آن)، ترجمه‌ی آقای پرویز شهریاری، جلد اول، انتشارات توکا (1365)
3- Artmann,B., The concept of number:from quaternions to monads and topological fields, translated by H. B. Griffiths, Ellis Horwood Limited, (1988).p
4- Scott, J. F. ,AHistory of Mathematics from Antiquity to the Beginning of the Nineteenth Century, Taylor and Francis Ltd. (1975)p
5- Muir, J., of Men and Numbers, Dell Publishing Co.,lnc. (1965).P
6- زارع نهندی، رحیم، شرحی بر اثبات آخرین قضیه فرما، خبرنامه‌ی انجمن ریاضی ایران سال پانزدهم شماره‌ی چهارم سال 1372 صفحات 10 تا 31.
7- نارنجانی آدینه محمد، بحثی در مورد آخرین قضیه فرما، مجله پیک ریاضی، جلد4، شماره 3، سال 1368، صفحات 267 تا 283.
8- اولیایی نیا،مازیار، مباحثی در نظریه‌ی نوین رمزنگاری، مجله‌ی پیک ریاضی، جلد5، شماره3، سال 1369، صفحات 264 تا 308.
9- درفشه، محمدرضا، آشنایی با کدهای تصحیح کننده‌ی خطا، مجله‌ی پیک ریاضی، جلد4، شماره4، سال1368، صفحات 375تا 403.
10- رجالی، علی، چگونه ریاضی بخوانیم، رشد آموزش ریاضی، شماره 15، سال 1366، صفحات 10 تا 12.
11- Professional Standerds for Teaching Mathematics, National Council of Teachers of Mathematics, 1991, (Prepard by the working groups of the Commission on teaching Standards for school Mathematics of the NCTM.)P
12-  Rejali, A. Lack of Interest of students for Studing Mathematics.P
Unesco Document Series, no .35. (Reports and papers presented in the fifth day special programme on “Mathematics, Education and Society” at the 6th International Congress on Mathematical Education) 1988 pp. 146-147.
ترجمه‌ی آن، مجله‌ی پیک ریاضی، جلد3، شماره 2، سال 1367، صفحات 221 تا 224.
13- Howson ,G., Teachers of Mathematis, Proceedings of the 7thlnterntional Coungress on Mathematical Education
14- رجالی،علی، روش ساده برای تدریس ریاضی، رشد آموزش ریاضی، شماره 17، سال 1367 صفحات 14 تا 16.
15- رجالی، علی، سوال کردن در کلاس درس، رشد آموزش ریاضی، شماره 31، سال 1370 صفحات 12 تا 15.
16- رجالی، علی، چهارده توصیه به دبیران ریاضی، رشد آموزش ریاضی، شماره 42، سال 1374، صفحات 44 تا 48.
17- رجالی، علی، مسائلی در رابطه با امتحانات ریاضی (در دست تهیه).
18- Everybody Counts, A report on the future of Mathematics Education.P
   National Research Council, National Academy Press, 1989.P
19- رجالی، علی، مسابقات ریاضی دانش‌آموزی در ایران، ارائه شده در بیست و پنجمین کنفرانس ریاضی کشور، فروردین 1373
20- Mathematics for All, Division of Science, Technical and Environmental Education, Document Series no.20, Unesco,1984
21- Usiskin,Z., From “Mathematics for some” to “Mathematics for All”.P
Selected Lecture from the 7th International Congress on Mathematics Education, 1992, Les Presses de L’Universite Laval. 1994.pp.341-352