آشنايی با اعداد کاپرکار

 Kaprekar

Dattaraya Ramchandra Kaprekar ریاضیدان هندی (1905–1986) كه در زمینه نظریه اعداد چند نظریه جالب را بیان كرده است.

Kaprekar Number

عدد كاپركار به عدد صحیح غیر منفی گفته می‌شود كه مربع عدد را به توان به دو قسمت به نحوی تقسیم كرد كه جمع آن دو قسمت عدد اصلی شود.
به مثال‌های زیر توجه كنید :
 

8 + 1 = 9	92 = 81
20 + 25 = 45	452 = 2025
88 + 209 = 297	2972 = 88209
998 + 001 = 999	9992 = 998001
238 + 4641 = 4879	48792 = 23804641
3008 + 14336 = 17344	173442 = 300814336
289940 + 248521 = 538461	5384612 = 289940248521

 
به عبارت دیگر برای هر عدد كاپریكارn رقمی كه k >= 1 (برای n = 1,2,3,4,…) زوج معادلات زیر برقرار است :

 K=q+r

  K² = q * 10ⁿ + r

 به نحوی كه :

q >= 1 

 10ⁿ > r >= 0 

Kaprekar Series

یك عدد 4 رقمی را در نظر بگیرید كه تمام ارقام آن تكراری نباشد، در ابتدا عدد را به صورت صعودی و سپس نزولی مرتب كنید و از یك دیگر كم كنید، حاصل تفریق را نگه دارید و همین عمل را بر روی حاصل تفریق انجام دهید تا به یك عدد ثابت برسید مشاهده می‌كنید كه به عدد 6174 می‌رسید، عدد 6174 را هسته عمل كاپركار می‌نامیم. توجه كنید كه مراحل تكرار تا رسیدن به عدد 6174 بیشتر از 7 مرحله نمی‌شود.
به عنوان مثال عدد 3124 را در نظر بگیرید، ابتدا عدد را به صورت صعودی 4321 و سپس به صورت نزولی 1234 مرتب می‌كنیم و عمل تفریق را انجام می‌دهیم :
 

  : 3241
4321
-1234
————
3087

 : 3087
8730
-0378
————
8352

 : 8352
8532
– 2358
———–
6174

 : 6174
7641
-1467
———–
6174

این عمل را می‌توان بر روی اعداد سه رقمی نیز انجام داد. در طی انجام این مراحل برای اعداد سه رقمی به عدد 495 می‌رسیم.
به مثال زیر توجه كنبد :

 : 957
975
-579
——
396

 : 396
963
-369
——
594

 : 594
954
-459
——
495

 : 495
954
-459
——
495